3-5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时规范练(授课提示：对应学生用书第253页)A组基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝(D)A．－B．－C.D．2．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝(A)A.B．C.D．3．(2017·西安质量检测)sin45°cos15°＋cos225°·sin165°＝(B)A．1B．C.D．－4．已知sin2α＝，则cos2＝(A)A.B．C.D．5．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(A)A.B．C.D．π解析：f(x)＝cosx－sinx＝－sin，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，取k＝0，得f(x)的一个减区间为，由f(x)在[－a，a]上是减函数，得∴a≤，则a的最大值是.6．(2018·济南期末)已知锐角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交点的纵坐标分别为，，则α＋β的大小为(B)A.B．C.D．解析：由题意知sinα＝，sinβ＝，0<α<，0<β<，所以cosα＝，cosβ＝，且0＜α＋β＜π，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·－·＝，所以α＋β＝.故选B.7．(2017·广东肇庆模拟)已知sinα＝，且α为第二象限角，则tan＝(D)A．－B．－C．－D．－8．(2018·乌鲁木齐模拟)函数y＝cos2x－sin2x的一条对称轴为(C)A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－解析：化简可得y＝cos2x－sin2x＝＝＝cos，令2x＋＝kπ，k∈Z可得x＝－，k∈Z，结合选项可知当k＝0时，函数的一条对称轴为x＝－，故选C.9．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(C)A.B．C．－D．－10．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为(D)A．－B．－C．－D．－11．(2018·江苏二模)在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1,2)，B(5,1)．则tan(α－β)的值为.解析：由已知可得tanα＝2，tanβ＝，则tan(α－β)＝＝＝.12．已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为3.解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.13．sin15°＋sin75°的值是.解析：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝.14．设θ为第二象限角，若tan＝，求sinθ＋cosθ的值．解析：若将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，解得tanθ＝－.又θ为第二象限角，则sinθ＝，cosθ＝－，从而sinθ＋cosθ＝－＝－.B组能力提升练1．(2018·唐山二模)若x∈[0，π]，则函数f(x)＝cosx－sinx的增区间为(D)A.B．C.D．解析：函数f(x)＝cosx－sinx＝cos，由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z，可得2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z.再由x∈[0，π]，可得f(x)的单调递增区间为.2．已知sin＝，则cos的值是(D)A.B．C．－D．－3．(2018·日照二模)若sin＝，则sin＋cos值为(C)A.B．－C.D．－解析：sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝2sin，由于sin＝，所以sin＋cos＝.故选C.4．已知＝，则tanθ＝(D)A.B．C．－D．－5．(2018·郴州三模)已知α∈，sinα＝，则tan＝(C)A.B．－C．7D．－7解析：由α∈，sinα＝，得cosα＝，∴tanα＝＝，则tan2α＝＝＝.∴tan＝＝＝7.6．(2017·河北石家庄模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sinα·cosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(C)A．[－，1]B．[－1，]C．[－1,1]D．[1，]解析：由题意可知sin(α－β)＝1，得α－β＝.又β∈[0，π]，得α∈.∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sinα＋cosα＝sin∈[－1,1]．7．(2017·邢台摸底考试)已知tan(3π－α)＝－，tan(β－α)＝－，则tanβ＝.解析：依题意得tanα＝，tanβ＝tan[(β－α)＋α]＝＝.8．(2017·吉林东北师大附中联考)已知0<θ<π，tan＝，那么sinθ＋cosθ＝－.解析：由tan＝＝，解得tanθ＝－，即＝－，∴cosθ＝－sinθ，∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1，∵0<θ<π，∴sinθ＝，∴cosθ＝－，∴sinθ＋cosθ＝－.9．已知cos＝－，θ为锐角，则sin2θ＝，sin＝.解析：由题意知，cos＝－⇒(cosθ－sinθ)＝－，即(1－2sinθcosθ)＝，所以sin2θ＝，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sinθ)·(cosθ－sinθ)＝×＝－，所以sin＝sin2θcos＋cos2θsin＝×＋×＝.10．已知cos(75°＋α)＝，求cos(30°－2α)的值．解析：∵cos(75°＋α)＝，∴sin(15°－α)＝，则cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝.11．(2017·云南师大附中检测)已知α∈，且tan＝3，求lg(8sinα＋6cosα)－lg(4sinα－cosα)的值．解析：∵α∈，且tan＝3，∴＝3，∴tanα＝，∴lg(8sinα＋6cosα)－lg(4sinα－cosα)＝lg＝lg＝lg10＝1.
