课时作业30破解高考中平面向量与其他知识的交汇问题一、选择题1．(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)解析：对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题．由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题．故p∨q为真命题．故选A.答案：A2．已知△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为BC边的中点，则|AD|等于()A．6B．5C．4D．3解析：因为D为BC的中点，所以AD＝(AB＋AC)，所以|AD|＝|AB＋AC|.又|BC|＝10，而BC＝AC－AB，所以|AC－AB|＝10⇒(AC－AB)2＝100，即|AC|2＋|AB|2－2AC·AB＝100.因为AC·AB＝－16，所以|AC|2＋|AB|2＝68，故(AC＋AB)2＝68－32＝36，所以|AB＋AC|＝6，即|AD|＝3，故选D.答案：D3．a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.－2C．－1D．1－解析：(a－c)·(b－c)＝c2－c·(a＋b)≥1－|c||a＋b|＝1－＝1－.答案：D4．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若aGA＋bGB＋cGC＝0，则角A为()A.B.C.D.解析：由题意可知GA＋GB＋GC＝0，∴GC＝－(GA＋GB)．又 aGA＋bGB＋cGC＝0，∴GA＋GB＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝c，b＝c，∴cosA＝＝＝，∴A＝.答案：A5．已知正数a，b，向量m＝(4,1)，n＝(a，b)，m·n＝30，则＋取得最小值时的实数对(a，b)是()A．(5,10)B．(6,6)C．(10,5)D．(7,2)解析：因为向量m＝(4,1)，n＝(a，b)，m·n＝30，所以4a＋b＝30，＋＝(＋)(4a＋b)＝(4＋1＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当即时等号成立．故选A.答案：A6．已知x，y满足若OA＝(x,1)，OB＝(2，y)，且OA·OB的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是()A．1B.C.D.解析：因为OA＝(x,1)，OB＝(2，y)，所以OA·OB＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图阴影部分表示，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝，故选D.答案：D二、填空题7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．解析：由AO＝(AB＋AC)可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即∠BAC＝90°，故AB与AC的夹角为90°.答案：90°8．如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量AB在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则AP·AB的取值范围是________．解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则AB＝(1,0)，AP＝(x，y)，所以AP·AB＝(x，y)·(1,0)＝x.因为点P在圆x2＋(y－5)2＝25上，所以－5≤x≤5，即－5≤AP·AB≤5.所以应填[－5,5]．答案：[－5,5]9．已知向量m＝(x＋，2a)，n＝(1，－lnx)，函数f(x)＝m·n在区间(1,2)内是增函数，则实数a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x＋－2alnx，所以f′(x)＝1－－，由已知得1－－≥0在x∈(1,2)内恒成立，即x2－2ax－3a2≥0在x∈(1,2)内恒成立．设g(x)＝x2－2ax－3a2，则或或Δ＝(－2a)2＋12a2≤0，解得－1≤a≤或∅或a＝0，所以实数a的取值范围为[－1，]．答案：[－1，]三、解答题10．如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，AB·AC＝120.(1)求cos∠BAD；(2)设AC＝xAB＋yAD，求x，y的值．解：(1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，cosα＝＝＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinα·sinβ＝×－×＝.(2)由AC＝xAB＋yAD得∴解得11．已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(sinx,1)，B(cosx,0)，C(－sinx,2)，点P在直线AB上，且AB＝BP.(1)记函数f(x)＝BP·CA，判断点(，0)是否为函数f(x)图象的对称中心，若是，请给予证明；若不是，请说明理由；(2)若函数g(x)＝|OP＋OC|，且x∈[－，]，求函数g(x)的最值．解：(1)点(，0)为函数f(x)图象的对称中心．理由如下：因为BP＝AB＝(cosx－sinx，－1)，CA＝(2sinx，－1)，所以f(x)＝2sinx(cosx－sinx)＋1＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．令2x＋...
