排列组合与二项式定理一、基础知识梳理1．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；2．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系==n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：=n!；3．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm==；（3）组合数的性质①Cnm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；4．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和及系数最大项、最小项问题；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。（4）证明不等式。活动一两个计数原理1．（1）将三封信投入4个不同的信箱，有________种不同的投法.（2）有四位学生参加三项不同的竞赛，①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有；②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有；③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有。2．用4种不同颜色给如图所示的地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,共有_____种不同的涂法.3．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则不同的方式有种。活动二排列组合1.有3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，(1)(3)(2)(4)(1)全体站成一行,其中甲不在最左端,乙不在最右端，有________种不同的排法；(2)全体站成一行,甲不排头,也不排尾，有________种不同的排法；(3)全体站成一行,男女各自站在一起，有________种不同的排法；(4)全体站成一行,男生必须站在一起，有________种不同的排法；（5）全体站成一行,男女相间站在一起，有________种不同的排法；（6）全体站成一行,男生不能相邻，有________种不同的排法；2．将由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数由小到大排列，则第20个数是________..3.9名翻译中,6人会英语,5人会日语.现要安排4名翻译英语,3名翻译日语,共有________种不同的安排方法。4．有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)共有____________种放法?(2)恰有一个盒子不放球,有_________种放法?(3)恰有一个盒子内有两个球,有_________种放法?(4)恰有两个盒内不放球,有___________种放法?活动三二项式定理1．展开式中的系数为______________。2．在的展开式中，含的项的系数是3．4．求的展开式中有理项5．求展开式中系数最大的项；6．已知，求：（1）；（2）（3）；（4）7．写出的二项展开式（为虚数单位），并计算的值。8．已知展开式中的各项系数之和等于展开式的常数项,而展开式中的二项式系数最大的项等于54，求的值.9．求证：能被26整除（n为大于1的偶数）．10．（1）求证：kC＝nC；（2）化简：C＋2C＋3C＋…＋(n＋1)C．
