中考数学专题复习九：中考压轴题VIP免费

专题九：二次函数压轴题【问题解析】中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题．此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力．它符合新课标对学生能力提高的要求．从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高．压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是必不可少的．近几年来主要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题1】（2016·云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把C（0，4）代入：4=﹣2a，a=﹣2，∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6， ﹣2＜0，∴S有最大值，则S大=6；（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，理由是：设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，设M（a，﹣2a+4），过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的解析式为：y=x+，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（﹣x，0）（x＞0）， AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②，由①②得：a1=4（舍），a2=，当a=时，x=，∴Q（﹣，0）．【同步练】（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题2】2016·青海西宁·12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答...