四川省成都经济技术开发区实验中学高中数学选修1-1：第二章2.22.2.2双曲线的简单几何性质课时达标检测一、选择题1．下列双曲线中离心率为的是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B由e＝得e2＝，∴＝，则＝，∴＝，即a2＝2b2.因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4解析：选A令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.3．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选B由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝＝a，于是e＝＝.4．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－10,0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析：选B由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k.∴e2＝＝＝1－.又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－120，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1.二、填空题6．(江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令－＝0，解得y＝±x.答案：y＝±x7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝，1即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B.所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)|yB|＝×(5－3)×＝.答案：.三、解答题9．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．解：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上．所以椭圆的右焦点坐标为(，0)，双曲线的右焦点坐标为(，0)，所以3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，即|m|＝2|n|，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，y＝±x.离心率e＝＝，e＝.10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：(1)由题意得解得所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.2
