4.1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数核心考点·精准研析考点一象限角与终边相同的角1.若角α是第二象限角,则是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是()A.B.C.D.3.下列各角中,与角330°的终边相同的是()A.150°B.-390°C.510°D.-150°4.与-2010°终边相同的最小正角是________.【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角.2.选D.因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为{α|α=kπ-,k∈Z}.3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°.4.因为-2010°=(-6)×360°+150°,所以150°与-2010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2010°终边相同,故与-2010°终边相同的最小正角是150°.答案:150°1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.3.求或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论,得到或nθ(n∈N*)所在的象限.提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.【秒杀绝招】结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角.排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=-x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12cm,则弧长l=________cm.2.已知扇形的周长为20cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________.【解题导思】序号联想解题1由扇形的圆心角想到弧长公式l=|α|·r2由扇形的周长想到扇形面积公式S=lr,周长=l+2r,转化为函数求最值【解析】1.设扇形的半径为rcm,如图.由sin60°=得r=4cm,所以l=|α|·r=×4=π(cm).答案:π2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad).答案:2有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.【解析】设圆心角是θ,半径是r,则解得(舍去)或所以扇形的圆心角为rad.2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.又S=θr2=r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.考点三任意角三角函数的定义及应用命题精解读考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等.(2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等.学霸好方法1.三角函数值符号的判断方法(1)先分别判断每个三角函数值的符号.(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出...
