初中数学妙用勾股定理巧求图形面积吴健勾股定理是我国古代文化的伟大成就，是极其重要的定理，它揭示了直角三角形的三边之间平方关系，对于一些与直角三角形面积有关的问题运用勾股定理求解方便快捷。例1.如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC=24，P是∠A，∠C的平分线的交点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，求。图1分析：显然四边形BEPD是矩形，作PF⊥AC于F，连结PB，易证所以四边形BEPD是正方形它的边长可由三角形的面积求得。设PD=PE=PF=m，得即由勾股定理知所以故例2.若a，b为正数，且是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。图2分析：这类题一些同学见了后望而生畏，不知从何下手，通过观察，显然该三角形不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。解：作矩形ABCD，使E、F分别是AB、AD的中点。由勾股定理知从而可知，就是题目所要求的三角形面积，即例3.已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4，求此梯形的面积。分析：要求梯形的面积，先确定上、下底的长，再求其高。解：以1，2，3，4为边作梯形有以下六种可能：（1）以1，2为底的长；（2）以1，3为底的长；（3）以1，4为底的长；（4）以2，3为底的长；（5）以2，4为底的长；（6）以3，4为底的长。可知只有（3）才能构成梯形，其它都不能构成梯形。如图3，设在梯形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=2，DA=1，过A作AH⊥BC于H，作AE//DC交BC于E，则△ABE是等腰三角形。图3因为所以于是。例4.如图4，在四边形ABCD中，AB＝2，CD=1，∠A＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。图4分析：考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其它知识易于解决。解：延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。因为∠A=60°所以∠E=30°又，CD=1所以AE=2AB=4，CE=2CD=2由勾股定理得所以例5.如图5，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是_________。图5解：连结AC，在△ABC中，因为∠ABC=90°，BC=4所以在△ACD中，因为所以可知△ACD也是直角三角形，∠ACD＝90°所以于是
