双抛物线型中考压轴题解法赏析湖北郧县实验中学华成斌2006年各地中考试题中出现了一类以双抛物线为背景立意的综合性压轴题，它集知识、方法、能力于一体，重在考查考生综合应用数学知识解决问题的能力，具有较强的探索性。这类试题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。本文选取三道比较典型的中考压轴题予以解析。一、以横轴为对称轴的双抛物线型压轴题例1、（2006烟台市）如图1，已知抛物线L1:y=x2-4的图像与x轴交于A、C两点。（1）若抛物线L2与L1关于x轴对称，求L2的解析式；（2）若点B是抛物线L1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上；（3）探索：当点B分别位于L1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。解：（1）设L2的解析式为y=a(x-h)2+k L2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),L1与L2关于x轴对称，∴L2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4得a=-1∴L2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1,y1) 点B在L1上∴B(x1,x12-4) 四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1,-x12+4).将D(-x1,-x12+4)的坐标代入L2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在L2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2S△ABC=AC•|y1|=4|y1|a.当点B在x轴上方时，y1＞0∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，∴当y1=-4时，S由最大值16，但他没有最小值此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.∴AC⊥BDl2l1YDXOCBA图1∴平行四边形ABCD是菱形，此时S最大=16.评析:本题条件简明，有较强的探索性。第（3）溶四边形、函数知识于一体，体现了数形结合与分类讨论的思想。二、以纵轴为对称轴的双抛物线型压轴题例2、（2006十堰市）已知抛物线C1:y=-x2+2mx+n(m、n为常数，且m≠0，n＞0)的顶点为A，与y轴交于点C，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC、BC、AB。注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为（1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：；（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；（3）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。解：（1）抛物线C1:y=-x2+2mx+n的顶点坐标为A（m,m2+n）与y轴的交点坐标为C（0，n）。 C2与C1关于y轴对称，∴C2的顶点坐标为B（-m,m2+n），与y轴的交点坐标为C（0，n）∴C2的解析式为y=-x2-2mx+n。（2）当m=1时，C1的解析式为y=-x2+2x+nA（1,1+n），C（0，n）。C2的解析式为y=-x2-2x+nB（-1,1+n），C（0，n）。它们的图象如图2所示，此时△ABC为等腰直角三角形。设AB交y轴于H， AB关于y轴对称，C在y轴上，∴AC=BC又 A（1,1+n），B（-1,1+n），C（0，n）∴AH=BH=CH=1∴△ABC为直角三角形∴△ABC为等腰直角三角形（3）存在。在△ABC中，由题意知，AC=BC，CH⊥AB。当四边形ABCP为菱形时，△ABC为等边三角形，∠ACB=600，∴∠ACH=300。在Rt△AHC中，CH=AH， CH=|m2+n-n|=m2，AH=|m|。∴m2=|m|。∴m=。∴当m=时，四边形ABCD是菱形。此时，点P的坐标为（，n）。评析:本题立意新，集计算、推理于一体，体现了对称的思想、方程的思想与数形结合的思想。三、以原点对称点的双抛物线型压轴题例3、（2006山西省）如图3，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）。（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别yoxCABC1C2H图2向右、向左运动；与此时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的...
