人教版九年级上册问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?赵州桥主桥拱的半径是多少?由此你能得到圆的什么特性?可以发现:圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴.不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗?③AM=BM,AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CDAB⊥,垂足为M.●O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:ABCDM└由①CD是直径②CDAB⊥可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在RtOAM△和RtOBM△中,∵OA=OB,OM=OM,∴RtOAMRtOBM.△△≌∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE•老师提示:•垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件?ECOABDOABc是不是是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形:CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD1、如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不成立的是()A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECD2、如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。·OABE解:连接OA,∵OE⊥AB∴cmOEOAAE86102222∴AB=2AE=16cm3、如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。·OABE解:过点O作OE⊥AB于E,连接OA∴cmOEcmABAE3421∴cmOEAEAE5342222即⊙O的半径为5cm.4、如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1,AB=10,求直径CD的长。·OABECD解:连接OA,∵CD是直径,OE⊥AB∴AE=1/2AB=5设OA=x,则OE=x-1,由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得:x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD的长为26.1、两条辅助线:半径、圆心到弦的垂线段2、一个Rt△:半径、圆心到弦的垂线段、半弦·OABC3、两个定理:垂径定理、勾股定理解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。例1:如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求⊙O的半径。解:连结OA。过O作OEAB⊥,垂足为E,则OE=3厘米,AE=BE。∵AB=8厘米∴AE=4厘米在RtAOE中,根据勾股定理有OA=5厘米∴⊙O的半径为5厘米。.AEBO例2:已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。求证:AC=BD。证明:过O作OEAB⊥,垂足为E,则AE=BE,CE=DE。AE-CE=BE-DE。所以,AC=BDE.ACDBO如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,AM=BM∴△OAMOBM.△∴∠AMO=∠BMO.∴CDAB⊥∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理的逆定理平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆的圆心为O,半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与AB交于点C,则D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37.4m,CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m,OD=OC-CD=r-7.2∵222ADODOA∴2222.77.18rr解得r=27.9(m)即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒②CDAB,⊥AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,必平分此弦所对的弧⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对的两条弧分别三等分•这节课你学到了什么?