第二篇函数、导数及其应用（必修1、选修1-1）第1节函数及其表示基础梳理考点突破知识整合1.函数与映射的概念函数映射定义建立在两个非空数集A到B上的一种确定的对应关系f,其要求:集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应建立在两个非空集合A到B上的一种确定的对应关系f,其要求:集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y与之对应记法y=f(x),x∈Af:A→B基础梳理抓主干固双基2.函数的三要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成,对函数y=f(x),x∈A,其中,(1)定义域:自变量x的取值范围.(2)值域:函数值的集合{f(x)|x∈A}.质疑探究1:如何判断两个函数是否为相等函数?提示:①定义域相同,②对应关系完全一致,则为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法.质疑探究2:如何判断坐标平面上的曲线是否为函数的图象?提示:平移与x轴垂直的直线,平移过程中直线与曲线的公共点不超过1个,曲线为函数的图象.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几部分组成,但它表示的是一个函数.双基自测1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是(D)解析:根据函数的定义,任一个x必有唯一的y值和它对应.故选D.2.已知f1x=x2+5x,则f(x)等于(B)(A)x2+5x(B)21x+5x,x≠0(C)21x+5x(D)21x+5x解析:法一f1x=x2+5x=211x+51x,故f(x)=21x+5x,x≠0,法二令1x=t,则t≠0,则x=1t.∴f(t)=21t+5·1t=21t+5t,∴f(x)=21x+5x,x≠0.故选B.3.(2013年高考广东卷)函数y=lg11xx的定义域是(C)(A)(-1,+∞)(B)[-1,+∞)(C)(-1,1)∪(1,+∞)(D)[-1,1)∪(1,+∞)解析:由题意得10,10,xx即x>-1且x≠1.故选C.4.(2013年高考福建卷)已知函数f(x)=32,0,πtan,0,2xxxx则fπ4f=.解析:fπ4=-tanπ4=-1,fπ4f=f(-1)=2×(-1)3=-2.答案:-2考点突破剖典例知规律考点一函数与映射的概念【例1】有以下判断:(1)f(x)=xx与g(x)=1,01,0xx表示同一函数.(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.(3)f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数.(4)若f(x)=|x-1|-|x|,则f12f=0.其中正确判断的序号是.思维导引:根据函数的定义进行判断,注意函数定义的核心是定义域和对应关系.解析:对于(1),由于函数f(x)=xx的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=1,0,1,0xx的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于(2),若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于(3),f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于(4),由于f12=112-12=0,∴f12f=f(0)=1.综上可知,正确的判断是(2),(3).答案:(2)(3)反思归纳判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量值都有唯一确定的函数值”这个核心点.即时突破1已知f:x→-sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B=10,2的一个映射,则集合A中的元素个数最多有()(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个解析:当-sinx=0时sinx=0,x可取0,π,2π;当-sinx=12时,sinx=-12,x可取7π6,11π6,故集合A中的元素最多有5个,故选B.考点二函数的定义域【例2】求函数f(x)=22lg29xxx的定义域.思维导引:根据使解析式有意义的条件列出关于x的限制条件组成的不等式组,不等式(组)的解集即为函数的定义域.解:要使该函数有意义,需要2220,90,xxx则有02,33,xxx或解得-3
