第8节函数与方程基础梳理考点突破知识整合1.函数的零点函数零点的概念对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程的根与函数零点的关系方程f(x)=0有实数根函数⇔y=f(x)的图象与x轴有交点函数⇔y=f(x)有零点.函数零点的存在定理图象在[a,b]上连续不断,若f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点.解方程f(x)=0利用零点存在性定理函数存在零点的判断方法数形结合基础梳理抓主干固双基质疑探究:当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,是否一定有f(a)f(b)<0?提示:当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有f(a)·f(b)<0,例如:f(x)=x2在区间(-1,1)内有零点,却有f(1)·f(-1)>0.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法(1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间缩小,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)步骤:给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0;②求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c);①若f(c)=0,则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④.双基自测1.(2012年高考北京卷)函数f(x)=1212xx的零点个数为(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:函数f(x)=1212xx的零点个数为函数p(x)=12x与函数q(x)=12x图象的交点个数.在同一坐标系内画出p(x)=12x与q(x)=12x的图象如图所示,两图象只有一个交点,∴函数f(x)=12x-12x的零点个数为1.故选B.2.(2013陕西西工大附中检测)函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间是(A)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:因为f(x)=ex+x-2的图象是连续不断的且是增函数,又f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间为(0,1).故选A.3.(2013揭阳一中高三月考)若函数f(x)=x3+x2-2x-2,其参考数据如下:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈-0.260,f(1.4375)≈0.162,f(1.40625)≈-0.054.则利用二分法计算方程x3+x2-2x-2=0的一个近似值(精确到0.1)为(C)(A)1.2(B)1.3(C)1.4(D)1.5解析:设函数f(x)的零点为x0,则由f(1)·f(1.5)<0,得x0∈(1,1.5),由f(1.25)·f(1.5)<0,得x0∈(1.25,1.5),由f(1.375)·f(1.5)<0,得x0∈(1.375,1.5),由f(1.375)·f(1.4375)<0,得x0∈(1.375,1.4375),由f(1.40625)·f(1.4375)<0,得x0∈(1.40625,1.4375),故x0≈1.4.故选C.4.已知x0是函数f(x)=2x+11x的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则f(x1)0,f(x2)0(用“>”“<”填空).解析:设g(x)=11x,h(x)=2x,由于函数g(x)=11x=-11x在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f(x1)<0,在(x0,+∞)上f(x2)>0.答案:<>考点突破剖典例知规律考点一函数零点的个数问题【例1】(2013珠海高三摸底)f(x)=12,0,222,0xxxx则f(x)-x的零点个数是.思维导引:作出函数y=f(x)及y=x的图象,借助图象求解.解析:函数f(x)=12,0,222,0xxxx及y=x的图象如图所示,由图可得直线y=x与函数f(x)的图象有两个交点,由此可得f(x)-x有2个零点.答案:2反思归纳判断函数零点个数的常用方法有三种:(1)直接法.方程f(x)=0解的个数就是函数y=f(x)零点的个数.(2)零点存在性定理法.利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数.(3)数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题;先画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)即时突破1(2012年高考天津卷)函f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:由f(x)=2x+x3-2得f(0)=-1...
