第31讲复数的概念及运算【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【基础检测】1．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2－2t＋2)i(t∈R)，则下列命题中正确的是()A．z的对应点Z在第一象限B．z的对应点Z在第四象限C．z不是纯虚数D．z是虚数【解析】由于2t2＋5t－3的符号无法确定，故A、B错，由于t2－2t＋2＝(t－1)2＋1≠0，故z是虚数．D2．复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35iB.35iC．－iD．i【解析】 2＋i1－2i＝（2＋i）（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＝2＋i＋4i－25＝i，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.故应选C.C3．若纯虚数z满足(2－i)z＝4－b(1＋i)2(其中i是虚数单位，b是实数)，则b＝()A．－2B．2C．－4D．4【解析】设z＝ai(a≠0)，则有(2－i)·ai＝4－2bi，即a＋2ai＝4－2bi，即a＝4，2a＝－2b，解得b＝－4.C4．已知i为虚数单位，复数z＝2＋i1－2i，则|z|＋1z＝________.【解析】由已知得z＝2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i（1－2i）1－2i＝i,|z|＋1z＝|i|＋1i＝1－i.1－i【知识要点】1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和__________，若b≠0，则a＋bi为虚数，若________________，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔________________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________________(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_____________．虚部a＝0，b≠0a＝c且b＝da＝c且d＝－ba2＋b22．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝（ac＋bd）＋（bc－ad）ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．3．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.一、复数的分类与几何意义例1巳知m∈R，复数z＝m（m－2）m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．【解析】(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，解得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2)当z为纯虚数时，则有m（m－2）m－1＝0，m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝2.∴当m＝0或2时，z为纯虚数．(3)当z对应的点位于复平面第二象限时，则有m（m－2）m－1<0，m2＋2m－3>0，解得m<－3或1
