§7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积1.了解侧面积的概念,并能熟练进行柱、锥、台的侧面展开.2.掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.3.能运用公式求柱体、锥体、台体的侧面积.1.侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积旋转体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧=2πrl,r为底面半径,l为侧面母线长圆锥S圆锥侧=πrl,r为底面半径,l为侧面母线长旋转体侧面展开图侧面积公式圆台S圆台侧=π(r1+r2)l,r1,r2分别为上、下底面半径,l为侧面母线长名师点拨圆柱和圆锥都可以看作是由圆台变化而成的几何体.圆柱可以看作是上、下底面全等的圆台,圆锥可以看作是上底面缩小成一点的圆台.观察它们的侧面积公式,不难发现:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r1+r2)lS圆锥侧=πrl.从上面可以很清楚地看出,圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作是由圆台的侧面积公式演变而来的.【做一做1-1】已知圆锥的高为4,母线长为5,则圆锥的侧面积为.答案:15π【做一做1-2】圆台OO'的母线长为6,两底面半径分别为2,7,则圆台OO'的侧面积是()A.54πB.8πC.4πD.16π答案:A3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积多面体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱=ch,c为底面周长,h为高正棱锥S正棱锥=12ch',c为底面周长,h'为斜高多面体侧面展开图侧面积公式正棱台S正棱台侧=12(c+c')h',c',c分别为上、下底面周长,h'为斜高名师点拨直棱柱和正棱锥都可以看作是由棱台变化而成的几何体.直棱柱可以看作是上、下底面全等的棱台,正棱锥可以看作是上底面缩小成一点的正棱台.观察它们的侧面积公式,不难发现:S直棱柱侧=chS正棱台侧=12(c+c')h'S正棱锥侧=12ch'.从上面可以很清楚地看出,直棱柱和正棱锥的侧面积公式都可以看作是由正棱台的侧面积公式演变而来.【做一做2-1】已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形,则此三棱锥的表面积为()A.4B.ξ34C.2ξ3D.ξ3解析:三棱锥的每个面的面积都为ξ34,所以此三棱锥的表面积为4×ξ34=ξ3.答案:D【做一做2-2】已知正四棱台上底面边长为4cm,侧棱和下底面边长都是8cm,求它的表面积.解: 正四棱台的上、下底面边长分别为4cm,8cm,侧棱长为8cm,∴斜高h'=ට82-ቂ12×(8-4)ቃ2=ξ60=2ξ15(cm).∴S表=S侧+S上+S下=12×4×(4+8)×2ξ15+4×4+8×8=(48ξ15+80)(cm2).题型一题型二题型三题型四反思对于此类问题常作圆台的轴截面,把圆台的轴截面等腰梯形转化为直角梯形,进而转化为直角三角形,从而将上、下底面的半径、高、母线长集中在一个直角三角形中研究.题型一旋转体的侧面积【例1】一个直角梯形的上底、下底和高的比为1∶2∶,求它旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比.解:如图所示,设上底、下底和高分别为x,2x,x,则母线长∴S上底=πx2,S下底=π(2x)2=4πx2,S侧=π(x+2x)·2x=6πx2,∴S上底∶S下底∶S侧=(πx2)∶(4πx2)∶(6πx2)=1∶4∶6.∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.ξ3ξ3l=ට(2𝑥-𝑥)2+(ξ3𝑥)2=2x,题型一题型二题型三题型四【变式训练1】圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高与圆柱的底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积的比值.解:如图所示,设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R,圆锥的母线长为l,则有𝑟𝑅=𝑅-𝑟𝑅,即R=2r,l=ξ2R.∴𝑆圆柱表𝑆圆锥表=2π𝑟2+2π𝑟2π𝑅·ξ2𝑅+π𝑅2=4π𝑟24ξ2π𝑟2+4π𝑟2=4π𝑟24(ξ2+1)π𝑟2=1ξ2+1=ξ2-1.题型一题型二题型三题型四题型二简单多面体的侧面积【例2】一正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,求该正四棱锥的侧面积.分析:审题时要画出正四棱锥的高、斜高、底面正方形的边心距组成的直角三角形,在此三角形中计算正四棱锥的相关量.题型一题型二题型三题型四解:如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE. OE=12×4=2(cm),∠OPE=30°,∴PE=𝑂𝐸sin30°=4(cm).∴S侧面积=12×4×4×4=32(cm2).反思对于空间几何体侧面积的运算,一般先将其转化为平面几何图形的有关运算,再充分利用平面几何图形的特殊性通过解三角形求解.在正四棱锥中,可先将基本量转化到正四棱锥的四个...
