第10节导数的概念与计算基础梳理考点突破知识整合1.导数的概念(1)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为2121fxfxxx,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为yx.基础梳理抓主干固双基(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数①定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率0limxyx=000limxfxxfxx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′0xx,即f′(x0)=0limxyx=000limxfxxfxx.②几何意义函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)=0limxfxxfxx为f(x)的导函数.质疑探究1:函数图象的切线与函数图象一定只有一个公共点吗?提示:不一定,例y=x3在点(1,1)处的切线y=3x-2与y=x3有两个公共点.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=αxα-1f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f′(x)=1lnxaf(x)=lnxf′(x)=1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);(3)()()fxgx=2()()()()()fxgxfxgxgx(g(x)≠0).质疑探究2:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”有何异同?提示:(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.双基自测1.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则yx等于(C)(A)4(B)4x(C)4+2Δx(D)4+2Δx2解析:yx=1(1)fxfx=221121xx=4+2Δx.故选C.2.设f(x)是可导函数,且满足0121lim2xfxfx=-1,则y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为(B)(A)2(B)-1(C)1(D)-2解析:令2x=Δx,由x→0则Δx→0,则有011limxfxfx=-1,即f′(1)=-1,由导数的几何意义知y=f(x)在(1,f(1))处切线的斜率为-1.故选B.3.(2013湛江市测试)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.解析:y′=3x2-1,y′|x=1=2,因此切线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.答案:2x-y+1=04.(2013重庆一中第四次月考)如图所示,函数y=f(x)在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=.解析: P在切线y=-x+8上,且横坐标为5,∴P点坐标为(5,3),又切线斜率为-1,∴f(5)=3,f′(5)=-1.∴f(5)+f′(5)=3-1=2.答案:2考点突破剖典例知规律考点一导数的概念【例1】利用导数的定义,求函数y=x在x=x0处的导数.思维导引:按导数的定义,先求Δy,再求yx,最后求y′=0limxyx.解:由于Δy=0xx-0x=00xxxx,所以yx=001xxx,因此,0xxy=0limxyx=0001limxxxx=012x,所以在x=x0处的导数为012x.反思归纳利用导数的定义求函数的导数,即先求函数值的变化量Δy,再求平均变化率yx,最后计算导数f′(x)=0limxyx.即时突破1利用导数的定义求函数y=x2的导数.解:Δy=(x+Δx)2-x2=x2+2xΔx+(Δx)2-x2=2xΔx+(Δx)2.∴yx=22()xxxx=2x+Δx,∴0limxyx=0limx(2x+Δx)=2x,∴y′=2x.考点二导数的计算【例2】(1)已知f(x)=x(2012+lnx),f′(x0)=2013,则x0等于()(A)e2(B)1(C)ln2(D)e(2)若函数f(x)=cosx+2xf′π6,则fπ3与fπ3的大小关系是()(A)fπ3=fπ3(B)fπ3>fπ3(C)fπ3
