学习必备欢迎下载例1：25（2015.重庆）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长。（2）如图1，求证：HF=EF。（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。解：（1） ∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2×23=43， AD⊥AB，∠CAB=60°，∴∠DAC=30°， AH=12AC=3，∴AD=AHcos30°=233，∴BD=AB2+AD2=213；（2）如图1，连接AF， AE是∠BAC角平分线，∴∠HAEBA）-60°=30°-∠FBA，∴∠EAF=∠FDH，在△DHF与△AEF中，DH＝AE∠HDF＝∠EAHDF＝AF，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF；（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在Rt△ADE中，AD=2AE， DF=BF，AM=BM，∴AD=2FM，∴FM=AE，E=30°，∴∠ADE=∠DAH=30°，在△DAE与△ADH中，∠AHD＝∠DEA＝90°∠ADE＝∠DAHAD＝AD，∴△DAE≌△ADH，∴DH=AE， 点F是BD的中点，∴DF=AF， ∠EAF=∠EAB-∠FAB=30°-∠FAB∠FDH=∠FDA-∠HDA=∠FDA-60°=（90°-∠Fbr> ∠ABC=30°，∴AC=CM=12AB=AM， ∠CAE=12∠CAB=30°∠CMF=∠AMF-∠AMC=30°，在△ACE与△MCF中，AC＝CM∠CAE＝∠CMFAE＝MF，∴△ACE≌△MCF，学习必备欢迎下载∴CE=CF，∠ACE=∠MCF， ∠ACM=60°，∴∠ECF=60°，∴△CEF是等边三角形．例2：27（2015.成都）已知,ACEC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°。（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF。1)求证：△CAED△CBF；2)若BE=1,AE=2，求CE的长。（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=EF/FC时，若BE=1,AE=2,CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设,,BE=m，AE=n，CE=p，试探究,,m、n、p三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）（1）（i）证明： 四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴ACBC＝CECF＝2，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴∠ACE=∠BCF，在△CAE和△CBF中，ACBC＝CECF＝2∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF．（ii）解： △CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠△CBF，AEBF＝ACBC，又 ∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，又 AEBF＝ACBC＝2，AE=2∴2BF＝2，∴BF＝2，∴EF2=BE2+BF2=12+(2)2=3，∴EFF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF2=BE2+BF2=1+4k2+1， ECFC＝k2+1，∴CEEF=k2+1k，CE=3，∴EF=3kk2+1，∴1+4k2+1＝(3kk2+1)2＝9k2k2+1，∴k2＝58，解得k=±104， ABBC=EFFC=k＞0，∴k=104．（3） ∠DAB=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2AB?BC?F=3， CE2=2EF2=6，∴CE=6．（2）如图②，连接BF，， ABBC=EFFC=k，∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，∴AC=AB2+BC2＝k2a2+a2＝ak2+1，学习必备欢迎下载CE=EF2+FC2=k2b2+b2＝bk2+1，∴ACBC＝ECFC＝k2+1，∠ACE=∠BCF，在△ACE和△∠BCF中，ACBC＝ECFC＝k2+1∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△∠BCF，∴AEBF＝ACBC＝k2+1，∠CAE=∠CBF，又 AE=2，∴2BF＝k2+1，∴BF=2k2+1， ∠CAE=∠CBcos135°=2BC2-2BC2×(-22)=BC2(2+2)在△ACE和△∠BCF中，ACBC＝ECFC＝2+2∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△∠BCF，∴AEBF＝ACBC＝2+2，∠CAE=∠CBF，又 AE=n，∴BF2＝AE22+2＝n22+2， ∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF2=BE2+BF2，∴p22+2＝m2+n22+2，∴（2+2）m2+n2=p2，即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2+2）m2+n2=p2．例3：23.(2015.安徽)如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．(1)求证：AD＝BC；(2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求AD/EF的值．考点：相似形综合题．.分析：（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；（2）先证出∠AGB=∠DGC，...
