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1/24一、填空题1.（2019江苏苏州，18，3分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为（结果保留根号）．【答案】23【解析】本题解答时要连接MP，PN，利用菱形的性质，得出△PMN为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA的长来表示的MN的长，最后利用二次函数的性质求出MN的最小值.连接PM，PN， 四边形APCD，PBFE是菱形，∴PA=PC， AM=MC，∴PM⊥AC，同理PN⊥BE.∴∠CPM+∠CPN=119022APCBPE゜， ∠DAP=60゜，∴∠CAP==∠NPB=30゜，设AP=x，则PB=8-x，∴PM=12x，PN=3(8)2x∴MN2222213()[(8)](6)1222PMPNxxx，∴当x=6时，MN有最小值，最小值为23.二、解答题1.（2019广东省，25，分值）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC=_______（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【思路分析】（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②2/24当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．【解题过程】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为60．（2）如图1中， OB=4，∠ABO=30°，∴OA=12OB=2，AB=3OA=23，∴S△AOC=12?OA?AB=12×2×23=23， △BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC=22ABBC=27，∴OP=243221727AOBSACV．（3）①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON?sin60°=32x，3/24∴S△OMN=12?OM?NE=12×1.5x×32x，∴y=338x2．∴x=83时，y有最大值，最大值=833．②当83＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM?sin60°=32（8﹣1.5x），∴y=12×ON×MH=﹣338x2+23x．当x=83时，y取最大值833，∴y＜833，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=23，∴y=12?MN?OG=123﹣532x，当x=4时，y有最大值，最大值=23，综上所述，y有最大值，最大值为833．【知识点】图形的旋转；解直角三角形；函数的最值2.（2019广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直4/24线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF∠x轴垂足为F，交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作∠H，点Q为∠H上的一个动点，求14AQ＋EQ的最小值.第26题图【思路分析】(1)根据题意，先求出点B、C的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式；(2)用点m表示出FH和PF的长，再由FH＝HP列关于m的方程求解；(3)连接AH，以AH为边构造相似三角形，将14AQ转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出14AQ＋EQ的最小值.【解题过程】(1) OB＝3OA＝3OC，A(3，0)，∴点B、C的坐标分别为(－33，0)，(－3，0).设抛物线的解析式为y＝a(x＋33)(x－3)，代入点C的坐标，得：－3＝a·33·(...