第11节导数的简单应用基础梳理考点突破知识整合1.函数的单调性与导数(1)函数y=f(x)在某个区间内可导①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;③如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数.(2)单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不变号.基础梳理抓主干固双基质疑探究1:若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0吗?f′(x)>0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件?提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0,f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值与导数(1)函数极小值的概念满足①函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小;②f′(a)=0;③在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0;则点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数极大值的概念满足①函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大;②f′(b)=0;③在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0;则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值.(3)求可导函数极值的步骤①求导数f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.质疑探究2:f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的什么条件?提示:必要不充分条件,因为当f′(x0)=0且x0左右两端的导数符号变化时,才能说f(x)在x=x0处取得极值.反过来,如果可导函数f(x)在x=x0处取极值,则一定有f′(x0)=0.3.函数的最值与导数求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.4.生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问题的意义.双基自测1.(2013广州市二模)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是(A)解析:在y轴的右侧,函数y=f(x)单调递减,f′(x)<0,排除选项B,D;在y轴的左侧,函数y=f(x)先增后减再增,f′(x)先大于0后小于0再大于0,排除选项C.故选A.2.(2012年高考辽宁卷)函数y=12x2-lnx的单调递减区间为(B)(A)(-1,1](B)(0,1](C)[1,+∞)(D)(0,+∞)解析:由已知得函数的定义域为(0,+∞),y′=x-1x=21xx(x>0),令y′≤0得210,0,xx解得00,当02时,f′(x)>0,所以x=2是函数f(x)的极小值点,故选D.4.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的取值范围为.解析:f′(x)=3x2-a, f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立.∴x∈[1,+∞)时,a≤(3x2)min=3,∴a≤3.答案:(-∞,3]考点突破剖典例知规律考点一利用导数研究函数的单调性【例1】(2013安徽省六校联考)已知函数f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a为实数.(1)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在闭区间[-1,1]上为减函数,求a的取值范围.思维导引:(1)求导,由f′(x)>0可得单调增区间;(2)求导,转化为f′(x)≤0在区间[-1,1]上恒成立问题.解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,由f′(x)>0⇒x>0或x<-2,故f(x)的单调增区间为(0,+∞)和(-∞,-2).(2)由f(x)=(x2-ax)ex,x∈R⇒f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex.记g(x)=x2+(2-a)x-a,依题意,x∈[-1,1]时,g(x)≤0恒成立,结合g(x)的图象特征得1320,110,gag...
