高中数学 23 平面与平面垂直的判定2课件 新人教版A必修2 课件VIP专享VIP免费

2．3.2平面与平面垂直的判定•要点一定义法判定平面与平面垂直•利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．例1如图所示，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.【分析】作出二面角的平面角，通过计算这个角为90°来证明两平面垂直．•【证明】 AB＝AD＝CB＝CD＝a，•∴△ABD与△BCD是等腰三角形，•∴取BD的中点E，连结AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.•∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a.在△AEC中，AE＝CE＝22a，•AC＝a，•∴AC2＝AE2＋CE2，•∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，•即二面角A－BD－C的平面角为90°.•∴平面ABD⊥平面BCD.•【规律方法】利用定义证两平面垂直的基本思路是作出二面角的平面角，计算二面角的平面角为90°.此法较适合由等腰或等边三角形构成的几何体．•变式1如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.•求证：平面ABC⊥平面BSC.•证明：取BC的中点D，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，•可得AB＝AC＝SA；连接SD，AD，•则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，又 ∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD＝22，AD＝22，∴SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.•要点二面面垂直的判定定理的应用•利用面面垂直的判定定理．具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线．•例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：•(1)DE＝DA；•(2)平面BDM⊥平面ECA；•(3)平面DEA⊥平面ECA.•【分析】由题目可获取以下主要信息：•①EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC；•②△ABC是等边三角形，CE＝CA＝2BD，ME＝MA.•解答本题(1)，只要证明三角形全等，(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明平面ECA的垂线在BDM内，(3)与(2)类似．•【证明】(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.EC⊥平面ABC，EC⊥BC，又由已知易得DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中， EF＝12EC＝BD，且由已知易得FD＝BC＝AB.∴Rt△DFE≌Rt△DBA，故ED＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN綊12EC.∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内． EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA. BN在平面MBD内，∴平面BDM⊥平面ECA.(3) BD綊12EC，MN綊12EC，∴MNBD为平行四边形．∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.•【规律方法】证明平面与平面垂直的方法有两个：•(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；•(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．•变式2(2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．•解：(1)证明：因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.•又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，•所以AC⊥平面PBD.•又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝6，所以HA＝HB＝3.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝6，HD＝HC＝1，可得PH＝3，AC＝BD＝3＋1.等腰梯形ABCD的面积为S＝12AC×BD＝2＋3，所以四棱锥的体积为V＝13×(2＋3)×3＝3＋233.•要点三简单的二面角的求法•求二面角的大小关键是作出二面角，作二面角的平面角的方法．•法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．•如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．•法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．•如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．•法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或...