能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算．1．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路．基本思路：(2)一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理解出三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．2．实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角①正南方向、正北方向、正东方向和正西方向．②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图②)．③北α东，即北偏东α：自正北方向按顺时针方向旋转到经过目标的射线转过的角为α(0<α<π2)．(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角3．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．1.(2011·上海卷)在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离是6千米．【解析】由题意，C＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝ABsin45°，所以AC＝2sin45°·sin60°＝6.2.某人向正东方向走了xkm，他向右转150°，然后朝新方向走了3km，结果他离出发点恰好为3km，那么x的值是23或3.【解析】先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，(3)2＝32＋x2－2·3xcos30°，解得x＝3或x＝23，故填23或3.3.△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解析】因为2b＝a＋c，所以4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0，所以a＝c，所以2b＝a＋c＝2a，所以a＝b，即a＝b＝c，故选D.4.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.2akmC．2akmD.3akm【解析】依题意得∠ACB＝120°.由余弦定理得cos120°＝AC2＋BC2－AB22AC·BC，所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2(－12)＝3a2，所以AB＝3a.故选D.5.在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为()A．237mB．227mC．247mD．257m【解析】如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，因为AC＝DC·sin45°sin15°，所以AB＝AC·sin60°＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.所以选A.一测量高度问题【例1】某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．【解析】由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，电视塔的高度H是124m.【点评】在实际测量中，经常会遇到不能直接测量物体高度的情况，灵活应用解斜三角形的方法能较好的解决问题；当题中三角形较多时，常选择直角三角形、等腰三角形、等边三角形等特殊三角形得关系．二测量距离问题【例2】如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10km，AB＝14km，∠BAD＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离(精确到0.1km)．参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236.【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0，解之得，x1＝16，x2＝－6(舍去)，由正弦定理得，BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，所以BC＝16sin135°·sin30°＝82≈11.3(km)答：两景点B与C的距离约为11.3km.【点评】距离问题常指海上、空中或实地测量有障碍物等，常从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形...
