高中数学(向量法求空间中的角)课件 新人教版选修2-1 课件VIP免费

立体几何中的向量方法----向量法求空间中的角一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）向量的有关知识：3、平面的法向量：__________________1、两向量数量积的定义：a·b=______________2、两向量夹角公式：cos〈a,b〉=___________|a|·|b|·cos〈a,b〉与平面垂直的向量baba例1：在RtAOB△中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。ABOF1B1O1A1D1二、知识讲解与典例分析ABOF1B1O1A1D1解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，并设OA=1,则：A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)21D1(,,1)2121),1,0,21(1AF所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为1030例1：在RtAOB△中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。xyz)1,21,21(1BD23451041111111,cosBDAFBDAFBDAF1030点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤建系求两异面直线的方向向量求两方向向量的夹角的余弦值得两异面直线所成角的余弦值例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点，(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1解：(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)),0,1,0(11CB)0,1,1(),1,0,1(1ACAB设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001ACnABn,则故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为3331010111111,cosCBnCBnCBn点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤建系求直线的方向向量求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值得直线与平面所成角的正弦值求平面的法向量xyzADCA1D1C1B1BFE例2(2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由题意知)0,1,21(),21,1,0(FE)0,1,21(),21,1,0(AEAF设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),所以02122zy02122yx故m=(-2,1,-2)又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为320,0AEmAFm则32132111,cosAAmAAmAAm点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤建系求两平面的法向量求两法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值a´b´•o过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的不大于90°的角，叫做异面直线a与b所成的角。异面直线所成的角（范围：）2,0ab（1）当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角mnmn用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，mnaba´b´•ocosnm,cosn相等m互补aba´b´onm•cosnm,cos（2）当与的夹角大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角mnnm所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为nmnm用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，mnnm,coscos222222212121212121zyxzyxzzyyxx直线与平面所成的角（范围：）2,0=sinnAB,cosBAOnBAOn相等=nAB,cos=)2cos()2cos(互补nAB,cos所以，直线与平面所成的角的正弦值为的余角与的关系？问题1的余角与的关系？问题2二面角（范围：）,0n1n221,nn21,nncos21,cosnncos...