第4课时基本不等式第4课时基本不等式考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：___________.(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥______(a，b∈R)；(2)ab___(a＋b2)2(a，b∈R)；a>0，b>0a＝b2ab≤(3)a2＋b22___(a＋b2)2(a，b∈R)；(4)ba＋ab≥___(a，b同号且不为零)．思考感悟上述四个不等式等号成立的条件是什么？提示：满足a＝b.≥23．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为_____，几何平均数为____，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．a＋b2ab4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x＋y有____值是____.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当___时，xy有____值是___.(简记：和定积最大)x＝y最小2px＝y最大p24考点探究·挑战高考利用基本不等式证明不等式考点突破考点突破利用基本不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足基本不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数，等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的．例例11(2011年汕头质检)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.【思路分析】利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．【证明】a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2，且c2＝d2，ab＝cd.【名师点评】证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立，同时也要注意应用基本不等式的变形形式．利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本定理求最值时，必须验证等号成立这一条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这是最容易发生错误的地方．例例22(1)设00，y>0，且x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．【思路分析】消元转化→构造和或积为定值→利用基本不等式求最值→确定取得最值的条件【解】(1) 00，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值是2.(2)显然a2，当a>2时，a－2>0，∴4a－2＋a＝4a－2＋(a－2)＋2≥24a－2·a－2＋2＝6，当且仅当4a－2＝a－2，即a＝4时取等号，当a<2时，a－2<0，∴4a－2＋a＝4a－2＋(a－2)＋2＝－[42－a＋(2－a)]＋2≤－242－a·2－a＋2＝－2，当且仅当42－a＝2－a，即a＝0时取等号，∴4a－2＋a的取值范围是(－，－2][6，＋)．(3) x>0，y>0，且x＋y＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(x＋y)＝7＋3yx＋4xy≥7＋23yx·4xy＝7＋43，当且仅当3yx＝4xy，即2x＝3y时等号成立，∴3x＋4y的最小值为7＋43.【误区警示】(1)对于第(2)小题中变形为a－2＋4a－2＋2后，易忽视了a－2的符号不定，从而得原式≥6这样的错误结论，同时当a－2<0时要注意变号．(2)第(3)小题要求根据条件求最值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关键，方法是在式子上乘以(x＋y)．利用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即：“一正、二定、三相等”，本题常见的误解为： x>0，y>0，x＋y＝1≥2xy∴xy≤14，∴1xy≥4.3x＋4y≥212xy≥248＝83，此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件，3x＝4y和x＝y同时成立是不可能的．所以在不等式连续放缩的时候，要时刻注意是否在同一条件下进行放缩，放缩时还要注意有目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况．互动探究把本例(3)中的条件改为x>0，y>0且3x＋4y＝1，求x＋y的最小值．解： x>0，y>0且3x＋4y＝1，∴x＋y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3＋4xy＋3yx＋4≥7＋2·4xy·3yx＝7＋43，当且仅当4xy＝3yx，即2...
