•1．知识与技能•了解抛物线的几何性质，并理解抛物线的几何性质与标准方程的关系，了解抛物线在实际问题中的应用，进一步理解抛物线的标准方程、几何性质及图形三者之间的内在联系．•2．过程与方法•在进行椭圆、双曲线、抛物线的几何性质类比中获得抛物线的性质，进一步体会数形结合思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．•3．情感态度与价值观•通过本节的学习，渗透数形结合的思想，启发学生用类比归纳法，经过严谨细致思考，得到正确结论，体会对比统一思想．•本节重点：抛物线的几何性质．•本节难点：抛物线几何性质的运用．•1．类比椭圆、双曲线的几何性质，根据抛物线方程讨论其几何性质，并注意椭圆、双曲线和抛物线的联系与区别．•2．注意抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心．标准方程图形范围顶点对称轴离心率y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x≥0，y∈R(0,0)x轴e＝1x≤0，y∈R(0,0)x轴e＝1标准方程图形范围顶点对称轴离心率x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)y≥0，x∈R(0,0)y轴e＝1y≤0，x∈R(0,0)y轴e＝1•[例1]已知抛物线的方程为x2＝ay，求它的焦点坐标和准线方程．[解析](1)当a>0时， 2p＝a，∴p＝a2.∴焦点坐标为F(0，a4)，准线方程为y＝－a4.(2)当a<0时，x2＝－(－a)y. 2p＝－a，∴p＝－a2.∴焦点坐标为F(0，－(－a4))，即F(0，a4)，准线方程为y＝－a4.•[说明]参数a≠0，a可能取正值，也可能取负值，不要忽略a<0的情况．综上所述，抛物线的焦点坐标为F(0，a4)，准线方程为y＝－a4.已知抛物线方程y＝－12x2，求抛物线的开口方向、对称轴、焦点坐标、准线方程及焦点到准线的距离．[解析]将该抛物线方程y＝－12x2化成标准方程为x2＝－2y，可知抛物线开口向下，对称轴为y轴． p＝1，∴焦点坐标为(0，－12)，准线方程为y＝12，焦点到准线的距离为1.•[例2]正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．[解析]如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2，又|OA|＝|OB|，所以x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0， x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由于AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°，∴y1x1＝tan30°＝33，而y21＝2px1，∴y1＝23p，于是|AB|＝2y1＝43p.•[说明]本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．若将本例改为直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是53，求此抛物线方程．•[解析]如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，则OB边的方程为y＝－12x.由y＝2xy2＝2px得A点坐标为(p2，p)，y＝－12xy2＝2px得B点坐标为(8p，－4p)． |AB|＝53，∴(p＋4p)2＋(p2－8p)2＝53. p>0，解得p＝23913.∴所求抛物线方程为y2＝43913x.•[例3]点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求|PQ|的最小值．•[解析]圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)，设P(2y21，y1)，则|PM|2＝(2y21－2)2＋y21＝4y41－7y21＋4＝4(y21－78)2＋1516≥1516.∴|PM|≥154，∴|PQ|min＝|PM|min－1＝154－1.此时P点的坐标为(74，144)或(74，－144)．•如下图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．[解析]如右图所示，设点A，M，B的纵坐标为y1，y2，y3，点A，M，B在抛物线y＝x2的准线上的射影分别为A′，M′，B′，由抛物线的定义，得|AF|＝|AA′|＝y1＋14，|BF|＝|BB′|＝y3＋14，∴y1＝|AF|－14，y3＝|BF|－14.又M是线段AB的中点，∴y2＝12(y1＋y3)＝12(|AF|＋|BF|－12)≥12(|AB|－12)＝14(2a－1)．当且仅当线段AB过焦点F时等号成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的距离最近，最近距离为14(2a－1)．•[例4]已知抛物线y2＝8x上两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)...
