§3坐标系与参数方程真题热身1．(2011·陕西)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．解析 C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d＝32＋42＝5. A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴ABmin＝5－2＝3.32．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)的右焦点，且与直线x＝4－2t，y＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．解由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y＝12(x－4)，即x－2y－4＝0.考点整合1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0).2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M(r，π2)，半径为r：ρ＝2rsinθ.204．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθy＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．分类突破一、参数方程例1(2010·课标全国)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组y＝3(x－1)，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(12，－32)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα(α为参数)．P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．归纳拓展有些题目用参数方程解决起来不方便，这时，我们一般将参数方程转化为熟悉的普通方程，再结合我们以前学过的知识来解决．这体现了从未知到已知，从不熟悉到熟悉的转化思想，同时会简化运算提高做题的准确率．变式训练1直线y＝2x－12与曲线x＝sinφ，y＝cos2φ(φ为参数)的交点坐标是______．解析x＝sinφy＝cos2φ⇒x＝sinφ，①y＝2cos2φ－1＝1－2sin2φ，②①代入②得y＝1－2x2⇒2x2＋y＝1，∴y＝2x－12，2x2＋y＝1，解方程得x＝12，y＝12，∴交点坐标为(12，12)．12，12二、极坐标方程例2(2010·江苏)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1...
