几 何 最 小 值 问 题——中考热点分析西 鲍 中 心 校 初 中 部 邹 景 德中考数学是以新课程目标和内容为依据，全面考查学生对基础知识的理解，对基本技能的掌握和对基本数学思想方法的应用。每年中考数学的热点都是教育专家、数学大师探讨的方向。利用二次函数求经济问题和面积问题的最值，一直是中考中常见的热点问题。但是近年来数学中考中的最值问题，其考查的方向与解决问题的方法发生了很大的变化，那就是几何最小值问题。几何最小值问题近几年频繁地出现在各地的中考试题中。 几何最小值的求解有两个可用结论：一是数学基本事实“两点之间，线段最短”；二是垂线段的一个性质“垂线段最短”。另外：如图（1），“点 A、B 在直线 m 的同一侧，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小”的方法已经成为求解几何最小值问题的重要的数学思想方法。下面是一些几何最小值问题的解题分析，通过对这些问题的分析可以看到解决几何最小值问题的一般思路。例 1．如图 1-（1）：△ABC 中，点 P 为 AC 边上的一点.（1）试在 AB、BC 上分别找一点 M、N,使△PMN 的周长最小；（2）当点 P 在 AC 上运动时，要使（1）中的△PMN 的周长最小，试找出点 P 的位置.1-（1）1-（2） 1-(3) 分析：如图 1-（2）分别作出点 P 关于 AB、BC 的对称点 P1、P2，这时在 AB、BC 上分别任取点 M/、N/，都有 PM/=P1M/，PN/=P2N/.故这时△PM/N/的周长等于 P1M/+M/N/+P2N/,要使△PM/N/的周长最小，就是要使 P1M/+M/N/+P2N/最小，则当然 P1、M/、N/、P2在同一直线上时最小.所以连接 P1P2交 AB、BC 于M、N，这时△PMN 的周长最小.这里将 ΔPMN 的周长先转化为几条折线段的和，进将问题转化为“两点之间线段最短”来解决。 如图 1-（3）分别连接 BP1、BP2、BP，则 BP=BP1=BP2，∠P1BP2=2∠ABC（为定值）.而△PMN 的周长即为 P1P2的长，要使得 P1P2最小,则须 BP 最小.根据“垂线段最短”当有 BP⊥AC时 BP 最小.从而确定了点 P 的位置.例 2.当 x 取何值时，代数式+的值最小？并求出这时的最小值.分析：转化为几何最小值问题求解如图，设点 A、B 为直线 a 同侧两点，AC⊥a，BD⊥a，C、D 为垂足，AC=2,BD=4,CD=8，点 P 为 CD 上动点，PC=x，则 PD=8-x.于是有 PA=,PB=.故可将代数式+的最小值问题转化为求 PA+PB 的几何最小值问题，求解 x 的值进而转化为求线段 PC 的长了.例 3．如...
