第 3 节 函数性质的综合应用 基础梳理考点突破知识整合 1.函数的最值 前提 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 条件 对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≥M; 存在 x0∈I, 使得 f(x0)=M. 结论 M 为最大值 M 为最小值 基础梳理 抓主干 固双基 2.函数奇偶性、对称性和周期性的几个关系 (1)若 f(x)有对称轴 x=a,且是偶函数,则 f(x)的周期为 2a; (2)若 f(x)有对称轴 x=a,且是奇函数,则 f(x)的周期为 4a; (3)若 f(x)有对称中心(a,0),且是偶函数,则 f(x)周期为 4a; (4)若 f(x)有对称中心(a,0),且是奇函数,则 f(x)周期为 2a. 双基自测 1.(2013年高考湖南卷)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( B ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1), 1(1)2,1( 1)4fgfg⇒ 1(1)2,1(1)4,fgfg 解得 g(1)=3.故选 B. 2.(2013 年高考湖北卷)x 为实数,[x]表示不超过 x的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( D ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数 解析:因为 f(x+1)=(x+1)-[x+1] =(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x). 所以 f(x)是周期函数, 故选 D. 3.函数 f(x)=111xx的最大值是( D ) (A) 45 (B) 54 (C) 34 (D) 43 解析:法一 1-x(1-x)=x2-x+1 =(x- 12)2+ 34≥ 34,∴0<111xx≤ 43, 即 f(x)的最大值为 43,当 x= 12时取到. 法二 x(1-x)≤212xx = 14, ∴1-x(1-x)≥1- 14= 34, ∴0<111xx≤ 43, ∴当 x=1-x 即 x= 12时,f(x)取到最大值 43.故选 D. 4.(2012 年高考安徽卷)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a= . 解析:函数的图象是以(-2a ,0)为端点的 2 条射线组成,所以-2a =3,a=-6. 答案:-6 考点一 求函数的最值 【例 1】 (1)函数 f(x)= 1a+ 1x(a>0,x>0),在[ 12,2]上的最大值是 ,最小值是 . (2)函数 y=2x -x(x≥0)的最大值为 . (3)对 a,b∈R,记 max|a,b|=,,,,a abb ab函数 f(x)=max||x+1|,|x-2||(x∈R)的最小值是 . 考点突破 剖典例 知规律 思维导引:(1)首先判断 f(x)在[ 12,2]上的单调性,再 求解;...
