第 4 讲 基本不等式及其应用知 识 梳 理 1．基本不等式： ab≤a＋b2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中 称为正数 a，b 的算术平均数， 称为正数a，b 的几何平均数． a ＝ b ab a＋b2 2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：a2＋b2≥ (a，b∈R)．当且仅当 a＝b时取等号． (2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥ (a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2ab 2 3．利用基本不等式求最值 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 时，x＋y 有最 值是 (简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 时，xy 有最 值是 (简记：和定积最大)． x ＝ y 小 x ＝ y 大 2 p s24 辨 析 感 悟 1．对基本不等式的认识 (1)当 a≥0，b≥0 时，a＋b2 ≥ ab. (√) (2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋b2 ≥ ab成立的条件是相同的． (×) 2．对几个重要不等式的认识 (3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)． (√) (4) 2aba＋b＝ 21a＋1b≤ ab≤a＋b2 ≤a2＋b22. (×) (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． (√) 3．利用基本不等式确定最值 (6)函数 y＝sin x＋ 4sin x，x∈0，π2 的最小值为 4. (×) (7)(2014·福州模拟改编)若 x＞－3，则 x＋ 4x＋3的最小值为 1. (√) (8)(2013·四川卷改编)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝36. (√) [感悟·提升] 两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和 a＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)． 二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 考点一 利用基本不等式证明简单不等式 【例 1】 已知 x＞0，y＞0，z＞0. 求证：yx＋zx xy＋zy xz＋yz ≥8. 证明 x＞0，y＞0，z＞0，...
