第九章 直线、平面、简单几何体第 讲（第二课时）1. 在三棱锥 P-ABC 中， AB⊥AC ， ∠ACB=60° ， PA=PB=PC ，点 P 到平面 ABC 的距离为 AC. 求二面角 P-AC-B 的大小 .题型 4 求二面角的大小23解法 1 ：由条件知△ ABC 为直角三角形，且∠ BAC=90°.因为 PA=PB=PC ，所以点 P 在平面 ABC 上的射影是△ ABC 的外心，即斜边 BC 的中点 E.取 AC 的中点 D ，连结 PD ， DE ， PE.因为 PE⊥ 平面 ABC ， DE⊥AC( 因为 DE ∥AB) ，所以 AC⊥PD. 所以∠ PDE 就是二面角 P-AC-B的平面角 .又 PE= AC ， DE= AC( 因为∠ A C B=60°) ，所以 ，所以∠ PDE=60°.故二面角 P-AC-B 的大小为 60°.解法 2 ：由条件知△ ABC 为直角三角形，且∠ BAC=90°. 因为 PA=PB=PC ，所以点 P 在平面 ABC 上的射影是△ ABC 的外心，即斜边 BC 的中点 .3232tan332PEPDEDE32设 O 为 BC 的中点，取 AC 的中点 D ，连结PD ，DO ， PO ，则 PO⊥ 平面 ABC. 建立如图所示直角坐标系设 AC=a ，则 A( a ， - a ， 0) ，B(-a ， 0 ， 0) ， C(a ， 0 ， 0) ，D( a ， - a ， 0) ， P(0 ， 0 ， a).所以 =(- a ， a ， 0) ， =(- a ， a ， a). 因为 AB⊥AC ，又 PA=PC ，所以 PD ⊥ AC ，1232343432AB�DP�3232323434所以 cos 〈 ， 〉即为二面角P-AC-B 的余弦值 .而 cos 〈 ， 〉= 所以二面角 P-AC-B 的大小为 60°.AB�2222233333() ()012424229393904416164aaaaaaaaaa DP�AB�DP�点评：求二面角的大小有两种方法：几何法与向量法 . 本题解法 1 是利用几何法来解决的，即按“一找、二证、三计算”三个步骤进行；解法 2 是利用向量法来解决的，即通过求垂直于两平面交线的直线的方向向量所成的角 ( 需要注意是相等还是互补 ). 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB⊥AC,D 、 E 分别为AA1、 B1C 的中点， DE⊥ 平面 BCC1. (1) 证明： AB=AC; (2) 设二面角 A-BD-C 为 60° ， 求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 . 解： (1) 证法 1 ：连结 BE ，因为 ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以∠ B1 B C =90°,因为 E 为 B1C 的中点，所以 BE=EC.又 DE⊥ 平面 BCC1， 所以 BD=DC( 射影相等的两条斜线段相等...
