P(x,y)rα 的终边y/r=sin αx/r=cos αx=r ·cosαy=r ·sinαP(r ·cosα , r ·sinα)Oxy 我们把 y/r 、 x/r 、 y/x 、 x/y 、 r/x 、 r/y 定义为 α 的六个三 角函数特别地， r=1 时，点 P 的坐标为（ cos α,sin α)C:\sketch 第三章 两角和与差的三角函数， 解斜三角形 一、两角和与差的三角函数 不查表，求 cos （ – 435° ） 的值 . 解： cos(–435 ° ) =cos435 ° =cos(360 ° +75 °)=cos75 ° 1. 75 ° 能否写成两个特殊角的和或差的形式 ? 2. cos75 ° =cos(45 ° +30 °)=cos45 ° +cos30 ° 成立吗 ? 3. 究竟 cos75 ° =? 4. cos (45 ° +30 °) 能否用 45 ° 和 30 ° 的角的三角函数来表示 ? 5. 如果能 , 那么一般地 cos(α+β) 能否用 α 、 β 的角的三角函数来表示 ? §3.1 两角和与差的三角函数 1. 两角和与差的余弦 cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ 在平面直角坐标系 xOy 内 , 作单位圆 , 并作α 、 β 和– β 角 , 使 α 角的始边为 Ox ，交圆 O 于 P1,终边交圆 O 于 P2;β 角的始边为 OP2, 终边交圆 O 于P3; – β 角的始边为 OP1, 终边交圆 O 于 P4; 此时 ,P1.P2.P3.P4 的坐标分别为 P1(1,0) ,P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β) ),P4(cos(–β), sin(–β)). 由︱ P1P3 ︱ = ︱ P2P4 ︱及两点间距离公式 ,得： [cos(α+β)–1]²+sin²(α+β)=[cos(–β)–cosα]²+[sin(–β)–sinα] ². 整理得 : cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ. 证明 : 如图所示PPP P123 4 XyO cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ 公式的结构特征 : 左边是复角 α+β 的余弦 , 右边是单角 α 、β 的余弦积与正弦积的差 . cos(α–β)= cosαcosβ+sinαsinβ 公式的结构特征 : 左边是复角 α+β 的余弦 , 右边是单角 α 、 β 的余弦积与正弦积的和 . 例 1. 不查表 , 求 cos(–435°) 的值 . 解 :cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °) =cos45 ° ·cos30 ° –sin45 ° ·sin30 °21222322426 应用举例 不查表 , 求 cos105 ° 和 cos15 ° 的值 .462 cos15 °=462 答案： cos105 °=练习 例 2. 已知 cos(α–30 °)=15/17, α 为大于 30 °...
