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导数的背景 第二章 第一节一、导入新课1. 瞬时速度问题 1 ：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中 g=9.8 是重力加速度 ) :从 3 秒到（ 3 ＋ ）秒这段时间内位移的增量：.当时间增量很小时，从 3 秒到（ 3 ＋ ）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大 . 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时的速度 .tt222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(tttstss从而 ttsv9.44.29212sgt从上式可以看出， 越小， 越接近 29.4 米 / 秒；当 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 29.4 米 / 秒 . 此时我们说， 当趋向于 0 时， 的极限是 29.4.当 趋向于 0 时， 平均速度 的极限就是小球下降 3 秒时的速度，也叫做瞬时速度 .一般地，设物体的运动规律是 s ＝ s （ t ），则物体在 t 到（ t ＋ ）这段时间内的平均速度为 . 如果 无限趋近于 0 时， 无限趋近于某个常数 a ，就说当 趋向于 0 时， 的极限为 a 这时 a 就是物体在时刻 t 的瞬时速度 .tttsttsts)()(ttsttsttstttststst一、物理意义——瞬时速度当 越来越小的时候， 越来越接近某时刻的瞬时速度vtsvt在物理学中，我们学过平均速度0,tv 当时 平均速度 的极限表示某时刻的瞬时速度2. 切线的斜率问题 2 ： P （ 1,1 ）是曲线 上的一点， Q是曲线上点 P附近的一个点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ的斜率的变化情况 .2xy 析：设点 Q 的横坐标为 1 ＋ ，则点 Q 的纵坐标为（ 1 ＋ ） 2 ， xx点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量（即函数的增量） 22)(21)1(xxxy所以，割线 PQ 的斜率 xxxxxykPQ2)(22由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时， 变得越来越小， 越来越接近 2 ；当点 Q 无限接近于点 P 时，即 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 2. xPQkxPQk这表明，割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线 . 我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线 . 由点斜式，这条切线的方程为： 12  xy一般地，已知函数 的图象是曲线 C ， P（ ），Q （ ）是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线...