第二十四章 圆专题 30 圆与勾股定理武汉专版 · 九年级上册一、利用直径所对圆周角构造直角三角形1 .如图,⊙ O 的弦 AB⊥CD , AD = 2 , BC = 3 ,求⊙ O 的直径.2 .如图, AB 为⊙ O 的直径, CD⊥AB ,垂足为点 D , = .(1) 求证: AF = CF ;(2) 若⊙ O 的半径为 5 , AE = 8 ,求 EF 的长.【解析】连接 AC,CO,延长 CO 交⊙O 于点 E,连接 BE.∵AB⊥CD,∴∠CAB+∠ACD=90°.∵CE 是直径,∴CB⊥BE,∴∠E+∠BCE=90°.∵∠E=∠CAB,∴∠BCE=∠ACD.∴BE=AD=2,∴CE= BC2+BE2= 13,即⊙O 的直径为 13. CE︵AC︵【解析】(1)连接 BC,AC.∵AC︵=CE︵,∴∠B=∠CAE.∵∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD.∴∠CAE=∠ACD,∴AF=CF.(2)连接 OC,OE,CO 与 AE 交于点 G.∵AC︵=CE︵,∴OC⊥AE,EG=AG=12AE=4.∴OG=OE2-EG2=3.∴CG=OC-OG=2.设 GF=x,则 CF=AF=4-x,在 Rt△CGF 中,(4-x)2=22+x2,解得 x=1.5,∴EF=EG+GF=4+1.5=5.5.二、利用垂径定理及其推论构造直角三角形3 .如图,在⊙ O 中,直径 CD⊥ 弦 AB 于点 E , AM⊥BC 于点 M ,交 CD 于点 N ,连接 AD.(1) 求证: AD = AN; (2) 若 AB = 4 , ON = 1 ,求⊙ O 的半径.2【解析】(1)∵∠B=∠D,∠B=∠CNM=∠AND,∴∠D=∠AND,∴AD=AN.(2)连接 AO.设⊙O 的半径为 r,NE=x.∵AB=4 2,AE⊥CD,∴AE=2 2.又∵ON=1,∴OE=x-1,ED=NE=x,r=OD=OE+ED=2x-1,∴AO=OD=2x-1,在 Rt△AOE 中,∵(2 2)2+(x-1)2=(2x-1)2,解得 x=2,∴r=2x-1=3.4 .如图,△ DBC 内接于⊙ O , DB = DC , = , DB 交 AC 于点 E.(1) 求证: BC = EC ;(2) 若 BC = 4 , AC = 6 ,求 BE 的长及⊙ O 的半径.BC︵AB︵【解析】(1)∵DB=DC,∴∠CBE=∠BCD.∵AB︵=BC︵,∴∠D=∠ACB.∵∠BEC=∠D+∠DCA,∠BCD=∠ACB+∠DCA,∴∠BEC=∠BCD=∠CBE,∴BC=EC.(2)连接 OA,OB,AB,OB 交 AC 于点 F.∵AB︵=BC︵,∴OB⊥AC,AB=BC=4.∴AF=CF=12AC=3.∴BF= 7.由(1)得 CE=BC=4,∴EF=1.∴BE=2 2.设⊙O 的半径为 r,则 OF=r- 7.∵AF2+OF2=OA2,∴(r- 7)2+32=r2,∴r=8 77,即⊙O 的半径为8 77.