第二十四章 圆专题 30 圆与勾股定理武汉专版 · 九年级上册一、利用直径所对圆周角构造直角三角形1 ．如图，⊙ O 的弦 AB⊥CD ， AD ＝ 2 ， BC ＝ 3 ，求⊙ O 的直径．2 ．如图， AB 为⊙ O 的直径， CD⊥AB ，垂足为点 D ， ＝ .(1) 求证： AF ＝ CF ；(2) 若⊙ O 的半径为 5 ， AE ＝ 8 ，求 EF 的长．【解析】连接 AC，CO，延长 CO 交⊙O 于点 E，连接 BE.∵AB⊥CD，∴∠CAB＋∠ACD＝90°.∵CE 是直径，∴CB⊥BE，∴∠E＋∠BCE＝90°.∵∠E＝∠CAB，∴∠BCE＝∠ACD.∴BE＝AD＝2，∴CE＝ BC2＋BE2＝ 13，即⊙O 的直径为 13. CE︵AC︵【解析】(1)连接 BC，AC.∵AC︵＝CE︵，∴∠B＝∠CAE.∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD.∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF.(2)连接 OC，OE，CO 与 AE 交于点 G.∵AC︵＝CE︵，∴OC⊥AE，EG＝AG＝12AE＝4.∴OG＝OE2－EG2＝3.∴CG＝OC－OG＝2.设 GF＝x，则 CF＝AF＝4－x，在 Rt△CGF 中，(4－x)2＝22＋x2，解得 x＝1.5，∴EF＝EG＋GF＝4＋1.5＝5.5.二、利用垂径定理及其推论构造直角三角形3 ．如图，在⊙ O 中，直径 CD⊥ 弦 AB 于点 E ， AM⊥BC 于点 M ，交 CD 于点 N ，连接 AD.(1) 求证： AD ＝ AN; (2) 若 AB ＝ 4 ， ON ＝ 1 ，求⊙ O 的半径．2【解析】(1)∵∠B＝∠D，∠B＝∠CNM＝∠AND，∴∠D＝∠AND，∴AD＝AN.(2)连接 AO.设⊙O 的半径为 r，NE＝x.∵AB＝4 2，AE⊥CD，∴AE＝2 2.又∵ON＝1，∴OE＝x－1，ED＝NE＝x，r＝OD＝OE＋ED＝2x－1，∴AO＝OD＝2x－1，在 Rt△AOE 中，∵(2 2)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得 x＝2，∴r＝2x－1＝3.4 ．如图，△ DBC 内接于⊙ O ， DB ＝ DC ， ＝ ， DB 交 AC 于点 E.(1) 求证： BC ＝ EC ；(2) 若 BC ＝ 4 ， AC ＝ 6 ，求 BE 的长及⊙ O 的半径．BC︵AB︵【解析】(1)∵DB＝DC，∴∠CBE＝∠BCD.∵AB︵＝BC︵，∴∠D＝∠ACB.∵∠BEC＝∠D＋∠DCA，∠BCD＝∠ACB＋∠DCA，∴∠BEC＝∠BCD＝∠CBE，∴BC＝EC.(2)连接 OA，OB，AB，OB 交 AC 于点 F.∵AB︵＝BC︵，∴OB⊥AC，AB＝BC＝4.∴AF＝CF＝12AC＝3.∴BF＝ 7.由(1)得 CE＝BC＝4，∴EF＝1.∴BE＝2 2.设⊙O 的半径为 r，则 OF＝r－ 7.∵AF2＋OF2＝OA2，∴(r－ 7)2＋32＝r2，∴r＝8 77，即⊙O 的半径为8 77.
