辅助角公式在高考三角题中的应用 专题辅导 不分版本考试卷VIP专享VIP免费

辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx。由于上式中的与的平方和为 1，故可记=cosθ，=sinθ，则由此我们得到结论：asinx+bcosx=，（*）其中 θ 由来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为 y=Asin()+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一. 求周期例 1 （2006 年上海卷选）求函数的最小正周期。解：所以函数 y 的最小正周期 T=π。评注：将三角式化为 y=Asin()+k 的形式，是求周期的主要途径。二. 求最值 例 2. （2003 年北京市）已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若，求 f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。由。当，即 x=0 时，最小值；当时取最大值 1。从而 f(x)在上的最大值是 1，最小值是。三. 求单调区间 例 3. （2005 年江西省）已知向量，，令，求函数 f(x)在[0，π]上的单调区间。解：先由。反之再由。所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为 y=Asin(ωx+ )+k 的形式，是求单调区间的通法。四. 求值域 例 4. 求函数的值域。解：所以函数 f(x)的值域是[-4，4]。五. 画图象 例 5. （2003 年新课程）已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数 y=f(x)在区间上的图象。解：由条件。列表如下02112描点连线，图象略。六. 图象对称问题 例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=对称，那么 a=( )（A）（B）（C）1（D）-1解：可化为知时，y 取得最值，即七. 图象变换 例 7（2000 年全国）已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：可将函数 y=sinx 的图象依次进行下述变换：（1）向左平移，得到 y=sin(x+)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得 y=的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得 y=sin(2x+)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移个单位长度，得到 y=sin(2x+)+的图象。综上，依次经过四步变换，可得 y=的图象。八. 求值例 8. 已知函数 f(x)=+sinxcosx。设 α∈（0，π），f()=，求 sinα 的值。解：f(x)==sin。由 f()=sin()，得 sin()=。又 α∈...