1 2 0 1 0 年 中 考 复 习 专题之举反例 在数学中，要证明一个命题成立，必须严格地在所给的条件下，以已经证明的事实为依据，用逻辑推理的方法推导出结论．要证明一个命题是错误的，极具有说服力而又简明的方法就是举出反例，去推翻它．数学中的反例实际上是与命题相矛盾的特例，具体说就是符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子． 一、列举反例的表达格式． 反例是符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子．所以列举反例时，要注意做到以下三点要求： （1）列举反例要具体； （2）要具体列举出反例满足命题的各项条件； （3）要具体说明反例与该命题的结论不符（如列举出否定该命题结论的条件）． 例 1．（2004 年厦门第 20 题） 已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A，点 G、E 分别在线段 AD、AB 上． （1）如图 1，连结 DF、BF，若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段 DF 与 BF 的长始终相等．”是否正确，若正确请给出证明，若不正确请举反例说明； （2）若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连结 DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段 DG 的长始终相等，并以图 2 为例说明理由． 分析：在考试的过程中，可以通过操作验证发现（1）中的命题 是假命题．这样，我们可以找个特殊的位置举出反例． 解：（1）该命题是假命题，反例如下： 若将 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 度，如图 3 所示， 此时，点 F 落在边 AB 上， ∴ BF＜AB， 又 在 Rt△DAF 中，DF＞DA， 在正方形 ABCD 中，AD＝AB， ∴ DF＞BF． ∴ 该命题是假命题． 图 1 图 2 图 3 2 二、列举反例的常用方法． （ 一）列举挑疵法． 因为反例实际上就是说明问题不成立的一个特例．通常情况下，这个命题不是“一切情况下均假”，而是在有的情况下真，有的情况下假，经过全面考虑所有可能的情形，一一严格验证，便把成立的情况排除出去，不成立的情况挑选出来，从而得到反例． 在考虑所有可能时，采用二分法或特殊值法都是十分有效的，许多情况都是由于分类不全而以假乱真． 例2．已知下列命题： （1）－a 是负数； （2）如果 a 是实数，那么 a 2＞0； （3）如果 x2＝y2，那么 x＝y； （4）如果 a 是实数，那么aa2． 以上四个命题中，假命题的个数是（ ） A． 1 个 B． 2 ...
