操作： 将一把三角尺放在边长为1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线 AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于点 Q．图 5图 6图 7 探究 ：设 A、P 两点间的距离为x．（ 1）当点 Q 在边 CD 上时， 线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△ PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△ PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置， 并求出相应的x 的值； 如果不可能， 试说明理由．（图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图5 供操作、实验用，图6 和图 7 备用）答案图 1 图 2 图 3 （1）解：PQ＝PB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）证明如下：过点 P 作 MN∥BC，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形 AMND和四边形 BCNM 都是矩形，△ AMP 和△ CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．∴NP＝NC＝ MB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分） ∠BPQ＝90° ，∴∠ QPN＋∠ BPM＝90° ．而∠ BPM＋∠ PBM＝90° ，∴∠QPN＝∠ PBM．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）又 ∠QNP＝∠ PMB＝90° ，∴△QNP≌△ PMB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）∴PQ＝PB．（2）解法一由（ 1）△ QNP≌△ PMB．得 NQ＝MP． AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x22，BM＝PN＝CN＝1－x22，∴CQ＝CD－DQ＝1－ 2·x22＝1－x2．得 S△PBC＝21 BC· BM＝21 × 1×（1－x22）＝21 －42 x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）S△PCQ＝21 CQ· PN＝21 ×（1－x2）（1－x22）＝21 －x423＋21 x2（1 分）S 四边形 PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝21 x2－x2＋1．即y＝21 x2－x2＋1（0≤x＜22 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分，1 分）解法二作 PT⊥BC，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形．∴PT＝CB＝PN．又∠ PNQ＝∠ PTB＝90° ， PB＝PQ，∴△ PBT≌△ PQN．S 四边形 PBCQ＝S△四边形 PBT＋S 四边形 PTCQ＝S 四边形 PTCQ＋S△PQN＝S 正方形 PTCN⋯（2 分）＝CN2＝（ 1－x22）2＝21 x2－x2＋1 ∴y＝21 x2－x2＋1（ 0≤x＜22 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）（3）△ PCQ 可能成为等腰三角形①当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，这时 PQ＝QC，△ PCQ 是等腰三角形，此时 ...
