5常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法

§5 常微分方程组与 高阶常微分方程的数值解法 为了简单起见，在此仅研究含有两个一阶常微分方程的初值问题 1112101 02212202 0( ,,),(),( ,,),()yf x yyyxyyfx yyyxy    （5 .1 ） 若记 12yy y 12( , )( , )( , )f xxfx yfyy 1 002 0yy y 10020()()()yxxyx y 则（5.1）可以改写为向量的形式 00( , )()xx yfyyy （5.2） 相应地，将前述求解常微分方程初值问题的公式写成向量的形式，就得到常微分方程组的数值解法。 例如，求解（5.1）的四阶经典 R-K 方法为 1 ,111 31 11 21 42 ,122 32 12 22 4226kkkkyyKKKKhyyKKKK 其中 1121 12122 1(,,)(,,)kkkkkkf xyyKfxyyK   111 122 11 22 2211 122 1(,,)222(,,)222kkkkkkhhhf xyKyKKKhhhfxyKyK   111 222 21 32 3211 222 2(,,)222(,,)222kkkkkkhhhf xyKyKKKhhhfxyKyK   111 322 31 4211 322 32 4(,,)(,,)kkkkkkf xh yhKyhKKfxh yhKyhKK   注：教材中1122(),()kkkkyy xyy x不正确，它们仅当0k 时成立（即初始条件）。 对于高阶微分方程，可以化成微分方程组后再求解。例如二阶常微分方程初值问题 0000( , ,),(),()yf x y yy xyy xy  （5 .3 ） 令 12,yy yy， 则（5 .3 ）可以化为 121001021220020,()( ,,),()()yy y xyyyf x y yy xy xy   §6 边值问题的数值解法 本节用最简单的二阶常微分方程问题为例，说明边值问题的数值解法。 ( , ,),[ , ],( ),( ).yf x y yxa by ay b 用中心差商代替导数，上述问题可以转化为方程组，然后求解。这种求解方法称为差分法。过程如下： 记 00,(1,2,, ),kbahxxkh kn xan， 将一阶和二阶中心差商公式 211()()()()2kkky xy xy xO hh 2112()2()()()()kkkky xy xy xy xO hh 中的余项2(...