Hilbert矩阵病态线性代数方程组的求解

实验一 病态线性代数方程组的求解 1.估计Hilbert 矩阵2-条件数与阶数的关系 运行tiaojianshu.m 输入m=10 可以得到如下表的结果 2.选择不同维数，分别用Gu ass 消去（LU分解），Jacobi 迭代，GS迭代，SOR 迭代求解，比较结果。 说明：Hx=b，H 矩阵可以由matlab 直接给出，为了设定参考解，我们先设x为分量全1 的向量，求出b,然后将H 和b 作为已知量，求x，与设定的参考解对比。 对于 Jacobi 迭代，GS 迭代，SOR 迭代，取迭代初值 x0 为0 向量，迭代精度 eps=1.0e-6， 迭代次数<100000, SOR 迭代中 w=1.2 和0.8 分别计算。 a. n=5 x分量 Gauss 法 J 迭代 GS 迭代 SOR 迭代 实际解x w=1.2 w=0.8 x(1) 1.0000 -8.8179 0.9998 0.9999 0.9998 1 x(2) 1.0000 -Inf 1.0028 1.0019 1.0031 1 x(3) 1.0000 -Inf 0.9879 0.9919 0.9863 1 x(4) 1.0000 -Inf 1.0181 1.0120 1.0209 1 x(5) 1.0000 -Inf 0.9912 0.9942 0.9897 1 迭代次数 14229 22160 3147 b. n=8 x分量 Gauss 法 J 迭代 GS 迭代 SOR 迭代 实际解x w=1.2 w=0.8 x(1) 1.0000 1.1898 1.0001 1.0002 1.0000 1 x(2) 1.0000 Inf 0.9974 0.9961 0.9986 1 x(3) 1.0000 Inf 1.0136 1.0201 1.0082 1 x(4) 1.0000 Inf 0.9794 0.9682 0.9875 1 x(5) 1.0000 Inf 0.9982 1.0034 0.9969 1 阶数 1 2 3 4 5 条件数 1 19.28 524.05 1.55e+4 4.76e+5 阶数 6 7 8 9 10 条件数 1.49e+7 4.75e+8 1.52e+10 4.93e+11 1.60e+13 x(6) 1.0000 Inf 1.0141 1.0163 1.0103 1 x(7) 1.0000 Inf 1.0101 1.0104 1.0089 1 x(8) 1.0000 Inf 0.9870 0.9851 0.9894 1 迭代次数 8342 7840 9473 c. n=10 x分量 Gauss 法 J 迭代 GS 迭代 SOR 迭代 实际解 x w=1.2 w=0.8 x(1) 1.0000 -0.5027 1.0001 1.0001 1.0002 1 x(2) 1.0000 -1.1763 0.9982 0.9988 0.9974 1 x(3) 1.0000 -1.6465 1.0056 1.0029 1.0087 1 x(4) 1.0000 -Inf 0.9993 1.0031 0.9961 1 x(5) 0.9999 -Inf 0.9916 0.9908 0.9904 1 x(6) 1.0004 -Inf 0.9968 0.9964 0.9974 1 x(7) 0.9994 -Inf 1.0052 1.0044 1.0068 1 x(8) 1.0006 -Inf 1.0087 1.0081 1.0102 1 x(9) 0.9997 -Inf 1.0039 1.0039 1.0041...