李凡长版组合数学课后习题答案习题5

31 第五章 Pólya计数理论 1. 计算（123）（234）（5）（14）（23）,并指出它的共轭类. 解：题中出现了5 个不同的元素：分别是：1，2，3，4，5。即|Sn|＝5。 512345432152431543215413254321)23)(14)(5)(234)(123( 51234543215214354321 5341254321 )5)(34)(12( （5）（12）（34）的置换的型为 1122 而 Sn 中属于 1122 型的元素个数为1521!1!2!521个其共轭类为 （5）（14）（23），（5）（13）（24），（1）（23）（45），（1）（24）（35）， （1）（25）（34），（2）（13）（45），（2）（14）（35），（2）（15）（34）， （3）（12）（45），（3）（14）（25），（3）（15）（24），（4）（12）（35）， （4）（13）（25），（4）（15）（24） 2. 设 D 是n 元集合,G 是D 上的置换群.对于 D 的子集 A 和 B,如果存在G,使得}|)({AaaB ,则称 A 与 B 是等价的.求 G 的等价类的个数. 解：根据 Burnside 引理niiacGl11)(1，其中c1(ai)表示在置换 ai 作用下保持不变的元素个数，则有 c1(σI)=n; 设在σ 的作用下，A的元素在 B中的个数为 i，则 c2(σ )=n－2i； 若没有其他置换，则 G 诱出来的等价类个数为 l=ininn)]2([21 3. 由 0,1,6,8,9 组成的n 位数,如果把一个数调转过来读得到另一个数,则称这两个数是相等的.例如,0168 和 8910,0890 与 0680 是相等的.问不相等的n 位数有多少个？ 解：该题可理解为相当于 n 位数，0，1，6，8，9 这 5 个数存在一定的置换关系 32 对于置换群 G={g1,g2} g1 为不动点置换，型为 1n；为 5n； g2 置换：（1n）(2(n-1))(3(n-2))…(22nn) 分为 2 种情况： （1） n 为奇数时212n ，但是只有中间的数字是 0，1，8 的时候，才可能调转过来的时候是相同的，所以这里的剩下的中间数字只能是有 3 种。 即：个数为 3×215n （2） n 为偶数时 22n ，个数为 25n 该置换群的轮换指标为 n 为偶数时，等价类的个数 l=232521)55(21nnn n 为奇数时，等价类的个数 l=)535(2121nn 4. 现有 8 个人计划去访问 3 个城市,其中有 3 个人是一家,另外有 2 个人是一家.如果一家人必须去同一个城市,问有多少种方案？写出它们的模式. 解：令...