再谈调和四边形的性质及应用沈文选

1 2△ABCADGDBE△△点 H，则四边形 DBHG 为平行四边形，从而∠GHC = ∠B，BD = HG，DG = BH．由四边形 DEFG 为平行四边形，得DG = EF，BE = HF，从而△DBE≌△GHF，于是△GHC 的面积为 5 + 3 = 8． 由第( 2 ) 小题得可先找 2 对 内 角 对 应 相 等 ( 对平行线型找平行线) ，得 △ADE ∽△EFC; 或先找一对内角对应相等，且看夹角是否对应成比例; 若无对应角相等，则只需考虑 3 组对边是否成比例． 第( 3) 小题是利用了 “ 探 究 S2 = 4S S ”、S = S + S + SDEFG + S△GFC = S△ADG + SDBHG + S△GHC 求解．DBHG 的面积为 2为 2 + 8 + 8 = 18．槡 2 × 8 = 8，从而△ABC 的面积综上所述，探究性的数学问题具有不定向的解题思路，往往遵循从“合情推理”到“逻辑推理”的点评 第( 1) ，( 2) 小题主要考查了相似三角形的面积之比等于相似比的平方; 利用相似证明，过程． 而规律探究型在一定的条件状态下，需探究发现有关数学对象所具有的规律性或不变性．再 谈 调 和 四 边 形 的 性 质 及 应 用● 沈文选( 湖南师范大学数学奥林匹克讨论所 湖南长沙 410081)笔者在文献［1］中介绍了调和四边形的 7 条性质及 7 道应用的例题． 在此，再介绍调和四边形的一些有趣性质及应用的例子．性质 8 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是该四边形 4 个顶点与不在其圆上一点的连线交圆于 4 点为一正方形 4 个顶点．图 1证明 如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 P不在⊙O 的圆周上，直线 PA，PB，PC，PD 分别交⊙O 于点 A'，B'，C'，D'． 由割线或相交弦定理得PA•PA' = PB•PB'，因此△APB∽△B'PA， AB PA A'B' = PB'．令点 P 对⊙O 的幂为 k，则于是 A B • C D = B C • D A ．A'B'•C'D'B'C'•D'A'充分性 当 A'，B'，C'，D'为正方形的 4 个顶点时，显然 AB•CD = BC•DA．必要性 当 AB•CD = BC•DA 时，由PA•PA' = PB•PB' = PC•PC' = PD•PD' = k，可 视 点 A ， B ， C ， D 的 反 演 点 为 A' ， B' ， C' ， D' ． 由 反 演 变 换 的 性 质 ， 可 知 A'，B'，C'，D' 在 AB•CD = BC• DA 的条件下为一正方形的 4 个顶点．注 由性质 8 给出了作调和四边形的又一种方法． 在文献［2］中，也有如下定义: 假如...