导数放缩及与函数构造

ln(𝑥 + 1) ≤ 𝑥(𝑥 > ln𝑥 ≤ 𝑥 − 1(𝑥 > 𝑥1 ≥ ln(1 + 1) ≥1𝑥1+𝑥12𝑛1 + 1 + ⋯ + 1 > ln(𝑛 + 1)𝑥𝑥+12𝑥1 − 1 < 2(𝑥−1) < ln𝑥 < 1 (𝑥 − 1) < 𝑥 − 1 < 𝑥 + 1 < 𝑒𝑥导数放缩第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln𝑥 ≤ 𝑥 − 1，ln𝑥 < 𝑥，ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥（放缩成双撇函数）ln𝑥 <1 (𝑥 −21)(𝑥 > 1)𝑥，ln𝑥 >1 (𝑥 −21)(0 < 𝑥 < 1)，𝑥ln𝑥 < √𝑥 − 1 (𝑥 > 1)，ln𝑥 > √𝑥 − 1 (0 < 𝑥 < 1)，√𝑥（放缩成二次函数）ln𝑥 ≤ 𝑥2 − 𝑥，√𝑥1 2，1 2ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥 − 𝑥2(−1 < 𝑥 < 0)ln(1 + 𝑥) ≥ 𝑥 − 𝑥2(𝑥 > 0)（放缩成类反比函数）ln𝑥 ≥ 1 − 1，ln𝑥 > 2(𝑥−1) (𝑥 > 1)，ln𝑥 < 2(𝑥−1) (0 < 𝑥 < 1)，𝑥𝑥+1𝑥+1ln(1 + 𝑥) ≥ 𝑥 ，ln(1 + 𝑥) > 2𝑥 (𝑥 > 0)，ln(1 + 𝑥) < 2𝑥 (𝑥 < 0)1+𝑥1+𝑥1+𝑥第二组：指数放缩（放缩成一次函数）𝑒𝑥 ≥ 𝑥 + 1，𝑒𝑥 > 𝑥，𝑒𝑥 ≥ 𝑒𝑥，（放缩成类反比函数）𝑒𝑥 ≤ 11−𝑥 (𝑥 ≤ 0)，𝑒𝑥< − 1𝑥(𝑥 < 0)，（放缩成二次函数）𝑒𝑥≥ 1 + 𝑥 +1 𝑥22(𝑥 > 0)，𝑒𝑥 ≥ 1 + 𝑥 +1 𝑥22+ 1 𝑥3， 6第三组：指对放缩𝑒𝑥 − ln𝑥 ≥ (𝑥 + 1) − (𝑥 − 1) = 2第四组：三角函数放缩sin𝑥 < 𝑥 < tan𝑥(𝑥 > 0)，sin𝑥 ≥ 𝑥 −1 𝑥22，1 −1 𝑥22≤ cos𝑥 ≤ 1 −1 sin2𝑥.2第五组：以直线𝑦 = 𝑥 − 1 为切线的函数y  ln x ， y  ex1 1， y  x2  x ， y  1 1 ， y  x ln x .x1.⇔⇒2.⇔3.⇔⇔4. ln ≤ − 1 或 ln𝑥 ≥ 1 −⇒⇒5.函数关系构造：注意对 x 的符号进行讨论.𝑒𝑥 ≥ 𝑥 + 𝑥 − 1 ≥ ln𝑥 ≥𝑥−1𝑥1 + 1 + ⋯ + 1 < ln(𝑛 + 1) < 1 + 1 + ⋯ + 1𝑛23𝑛+12ln(1 + 1) ≤ 1 或 ln(𝑥 + 1) − ln𝑥 ≤1𝑥111𝑥𝑥𝑥ln𝑥 ≥𝑥−1𝑥ln2 ⋅ ln3 ⋯ ⋅ ln𝑛 ≥1𝑛函数构造：（1）𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)形式：构造𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)形式：构造𝑓(𝑥) , (𝑔(𝑥) ≠ 0)𝑔(𝑥)（2）𝑓′(𝑥) + 𝑛𝑓(𝑥)形式：构造 [𝑒𝑛𝑥 ⋅ 𝑓(𝑥)]′ = 𝑛 ⋅ 𝑒𝑛𝑥𝑓(...