第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一四种命题及其关系1.(2015·山东,5)若m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0解析原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q,则綈p”.∴所求命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.答案D2.(2015·四川,15)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=,现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中真命题有________(写出所有真命题的序号).解析设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)),对于①:从y=2x的图象可看出,m=kAB>0恒成立,故正确;对于②:直线CD的斜率可为负,即n<0,故不正确;对于③:由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax,则h′(x)=2x·ln2-2x-a,由h′(x)=0,∴2x·ln2=2x+a,(*)结合图象知,当a很小时,方程(*)无解,∴函数h(x)不一定有极值点,就不一定存在x1,x2使f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),不一定存在x1,x2使得m=n;对于④:由m=-n,得f(x1)-f(x2)=g(x2)-g(x1),即f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),令F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax,则F′(x)=2xln2+2x+a,由F′(x)=0,得2xln2=-2x-a,结合如图所示图象可知,该方程有解,即F(x)必有极值点,∴存在x1,x2使F(x1)=F(x2),得m=-n.故①④正确.答案①④3.(2014·陕西,8)原命题为“若<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假解析从原命题的真假入手,由于<an⇔an+1<an⇔{an}为递减数列,即原命题和逆命题均为真命题,又原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题,选A.答案A4.(2013·陕西,6)设z是复数,则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是纯虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0解析由复数的运算可知若z2≥0,则z一定是实数,A是真命题;若z2<0,则z一定是纯虚数,B是真命题;若z是虚数,则z2可能还是虚数,则不能与0比较大小,C是假命题;若z是纯虚数,则z2<0,所以D是真命题.答案C5.(2012·湖南,3)命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是()A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=解析根据逆否命题的定义可知C正确.答案C6.(2011·陕西,1)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是()A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b解析根据逆命题的定义将原命题的条件和结论互换即可.答案D考点二充分条件与必要条件1.(2015·天津,4)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x-2|<1得1<x<3,所以1<x<2⇒1<x<3;但1<x<3⇒/1<x<2,故选A.答案A2.(2015·重庆,2)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析解x2-2x+1=0得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.答案A3.(2015·福建,12)“对任意x∈,ksinxcosx<x”是“k<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析∀x∈,ksinxcosx<x⇔∀x∈,k<,令f(x)=2x-sin2x.∴f′(x)=2-2cos2x>0,∴f(x)在为增函数,∴f(x)>f(0)=0.∴2x>sin2x,∴>1,∴k≤1,故选B.答案B4.(2015·安徽,3)设p:x<3,q:-1