第一章立体几何初步第 1.1.7 节柱、锥、台和球的体积教学过程：（一）祖暅原理：祖暅(音 gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元 504—526 年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体 V1．底面 OABC 是一个正方形，边长为 r(图 2-18)．高取一点 S，过点 S 与底面平行的截面为 SPQR，设它的边长为 a，OS 为 h，则截面面积 a2=r2-h2．用心 爱心 专心1另取一个边长为 r 的正方体 V2(图 2-19)，连结 O′D′，O′C′，O′A′，锥体 O′-A′B′C′D′记作 V3，V2-V3是正方体 O′D′挖去锥体 O′-A′B′C′D′剩下的几何体．下面来证明V1=V2-V3．设平行于底面与底面距离为 h 的平面，截 V2的截面是正方形 P′TS′M，面积等于 r2，截 V3的截面是正方形 Q′TR′N，面积等于 h2(因为 Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形 P′Q′NR′S′M，它的面积等于 r2-h2．比较 V1与 V2-V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是 r2-h2，因此体积相等，即 V1=V2-V3．祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．积为 V4(是未知数)．和 V1比较，在高 h 处的截面积 C″EF 是以 a 为半用心 爱心 专心2祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公 理 使 用 ． 提 法 “ 幂 势 既 同 ， 则 积 不 容 异 ” ， 在 西 方 通 常 叫 做 “ 卡 瓦 列 利 原理”(Cavalierisches，Prinzip)．卡瓦列利[米兰 Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于 1635 年．（二）长方体的体积（三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等（五）三棱住可以分割成三个体积...
