学案 76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标： 1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式(1)如果 a，b>0，那么____________，当且仅当 a＝b 时，等号成立．(2)如果 a，b，c>0，那么________________，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．(3)对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≥，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式(1)二维形式：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设 α、β 是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．3．三角形不等式设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么＋≥.自我检测1．若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝s，xy＝p，则下列命题中正确的序号是________．① 当且仅当 x＝y 时，s 有最小值 2；② 当且仅当 x＝y 时，p 有最大值；③ 当且仅当 p 为定值时，s 有最小值 2；④ 若 s 为定值，则当且仅当 x＝y 时，p 有最大值.2．若 x，y∈R，且满足 x＋3y＝2，则 3x＋27y＋1 的最小值是________．3．(2011·湖南)设 x，y∈R，且 xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________．4．函数 y＝3＋3x＋(x<0)的最大值为________．5．若 a，b∈R，且 a2＋b2＝10，则 a－b 的取值范围为______________．探究点一 利用柯西不等式求最值例 1 已知 x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求 x＋y 的最小值．变式迁移 1 若 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2的最小值．探究点二 利用算术—几何平均不等式求最值例 2 如图(1)，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移 2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为 h 米，盖子边长为 a 米．(1)求 a 关于 h 的解析式；(2)设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时，V 最大？求出 V 的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)．探究点三 不等式的证明例 3 (1)已知 a、b、c...
