2.3 .1 等差数列的前 n 项和（一）讲解新课： 如图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的 V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个 V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题可以看成是求等差数列 1，2，3，…，n,…的前 120 项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示，且任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前 n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.1．等差数列的前 项和公式 1：证明： ① ②①+②： ∴ 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前 项和公式 2： 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式 1 即得： 此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知中三个公式二又可化成式子：1，当，是一个常数项为零的二次式 2.三、例题讲解例 1 一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个 V 形架上共放着 120 层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前项和的公式，得72602)1201(120120S答：V 形架上共放着 7260 支铅笔例 2 等差数列，，，，…前多少项的和是 54？解：设题中的等差数列为，前项为则 54,4)10()6(,101nSda由公式可得解之得：，（舍去）.∴等差数列，，，，…前 9 项的和是 54.例 3 一凸边形各内角的度数成等差数列，公差是 10°,最小内角为 100°,求边数 解：由，求得, 或. 当时, 最大内角，不合题意，舍去，∴. 例 4 在等差数列中，已知，求前 20 项之和．分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解．解：法一 由.由da19020 1 )384(51da 345170法二由， 而， 所 以，所...
