第1讲平面向量的概念及其线性运算板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·南京模拟]对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC等于()A.OA－OBB．－OA＋OBC．2OA－OBD．－OA＋2OB答案C解析因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB.故选C.3．[2018·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，则点A，B，C三点共线应满足()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1答案D解析若A，B，C三点共线，则AB＝kAC，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1.故选D.4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A.ADB.ADC.BCD.BC答案A解析EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.故选A.5．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案C解析由已知得，AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.6.[2018·北京海淀期末]如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.B．－C．1D．－1答案A解析因为E为DC的中点，所以AC＝AB＋AD＝AB＋AB＋AD＝AB＋AE，即AE＝－AB＋AC，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.故选A.7．[2018·绵阳模拟]在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD答案B解析因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝＝AB＋AD.故选B.8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．答案直角三角形解析因为OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，所以|AB＋AC|＝|AB－AC|，即AB·AC＝0，故AB⊥AC，△ABC为直角三角形．9．[2018·江苏模拟]设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案解析DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，∵DE＝λ1AB＋λ2AC，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.10．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是________．答案解析因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC＝PB－PA，所以PC＝－2PA＝2AP，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.[B级知能提升]1．[2018·福建模拟]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM答案D解析OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.故选D.2．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则的值为()A．－2B．－C．2D.答案A解析设AB＝a，AD＝b，则EF＝ma＋nb，BE＝AE－AB＝b－a，由向量EF与BE共线可知存在实数λ，使得EF＝λBE，即ma＋nb＝λb－λa，又a与b不共线，则所以＝－2.故选A.3．[2018·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若AB＝e1－λe2，CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．答案2解析∵CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，∴BD＝CD－CB＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则AB与BD共线，存在μ∈R使得AB＝μBD，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得λ＝2.4．已知|OA|＝1，|OB|＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，求的值．解如图所示，因为OB⊥OA，设|OC|＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，所以四边形ODCE是矩形，OC＝OD＋DC＝OD＋OE.因为|OC|＝2，∠COD＝30°，所以|DC|＝1，|OD|＝.又因为|OB|＝，|OA|＝1，所以OD＝OA，OE＝OB，OC＝OA＋OB，此时m＝，n＝，所以＝＝3.5．[2018·大同模拟]若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，求△ABM与△ABC的面积之比．解设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5AM＝AB＋3AC，得5AM＝2AD＋3AC①，即AM＝AD＋AC，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又AM＝AD＋DM②，①②联立，得5DM＝3DC，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.
