6.3 等比数列典例精析题型一 等比数列的基本运算与判定【例 1】数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…).求证：(1)数列{}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【解析】(1)因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn).整理得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以＝2·，故{}是以 2 为公比的等比数列.(2)由(1)知＝4·＝(n≥2)，于是 Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2).又 a2＝3S1＝3，故 S2＝a1＋a2＝4.因此对于任意正整数 n≥1，都有 Sn＋1＝4an.【点拨】①运 用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量 a1、q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前 n 项和公式时，应充分讨论公比 q 是否等于 1；②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用＝q(常数)恒成立，也可用 a＝an·an＋2 恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法.【变式训练 1】等比数列{an}中，a1＝317，q＝－.记 f(n)＝a1a2…an，则当 f(n)最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】an＝317×(－)n－1，易知 a9＝317×＞1，a10＜0,0＜a11＜1.又 a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9 的值最大，此时 n＝9.故选 C.题型二 性质运用【例 2】在等比数列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，an＞an＋1(n∈N*).(1)求 an；(2)若 Tn＝lg a1＋lg a2＋…＋lg an，求 Tn. 【解析】(1)由等比数列的性质可知 a1a6＝a3a4＝32，又 a1＋a6＝33，a1＞a6，解得 a1＝32，a6＝1，所以＝，即 q5＝，所以 q＝，所以 an＝32·()n－1＝26－n .(2)由等比数列的性质可知，{lg an}是等差数列，因为 lg an＝lg 26－n＝(6－n)lg 2，lg a1＝5lg 2，所以 Tn＝＝lg 2.【点拨】历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握.【变式训练 2】在等差数列{an}中，若 a15＝0，则有等式 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a29－n(n＜29，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若 b19＝1，能得到什么等式？ 【解析】由题设可知，如果 am＝0，在等差数列中有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立，我们知道，如果 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq，而对于等比数列{bn}，则有若 m＋n＝p ＋q，则 aman＝apaq，1所以可以得出结...
