7.2 简单不等式的解法典例精析题型一 一元二次不等式的解法【例 1】解下列不等式：(1)x2－2x－3＞0；(2)已知 A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求 A∪B，(∁R A)∩B.【解析】(1)方程两根为 x1＝－1，x2＝3，所以原不等式解集为{x|x＜－1 或 x＞3}.(2)因为 A＝{x|＜x＜2}，∁RA＝{x|x≤或 x≥2}，B＝{x|x≤－或 x≥1}，所以 A∪B＝{x|x≤－或 x＞}，(∁RA)∩B＝{x|x≤－或 x≥2}.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于 Δ＞0 的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练 1】设函数 f(x)＝ ),0()0(22xcbxxx若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为( )A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)【解析】选 C.由已知对 x≤0 时 f(x)＝x2＋bx＋c，且 f(－4)＝f(0)，知其对称轴为 x＝－2，故－＝－2⇒b＝4.又 f(－2)＝0，代入得 c＝4，故 f(x)＝ ),0(44)0(22xxxx分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).题型二 解含参数的一元二次不等式问题【例 2】解关于 x 的不等式 mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R).【解析】当 m＝0 时，原不等式可化为－2x－2＞0，即 x＜－1；当 m≠0 时，可分为两种情况：(1)m＞0 时，方程 mx2＋(m－2)x－2＝0 有两个根，x1＝－1，x2＝.所以不等式的解集为{x|x＜－1 或 x＞}；(2)m＜0 时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，其对应方程两根为 x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.①m＜－2 时，m＋2＜0，m＜0，所以 x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x|－1＜x＜}；②m＝－2 时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；③－2＜m＜0 时，x2－x1＜0，即 x2＜x1，不等式解集为{x|＜x＜－1}.综上所述：当 m＜－2 时，解集为{x|－1＜x＜}；1当 m＝－2 时，解集为∅；当－2＜m＜0 时，解集为{x|＜x＜－1}；当 m＝0 时，解集为{x|x＜－1}；当 m＞0 时，解集为{x|x＜－1 或 x＞}.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练 2】解关于 x 的不等式＞0.【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋...
