9.2 双曲线典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例 1】已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，求动圆圆心E 的轨迹方程.【解析】设动圆 E 的半径为 r，则由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－，所以|AE|－|BE|＝2，又 A(－4,0)，B(4,0)，所以| AB|＝8,2＜|AB|.根据双曲线定义知，点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支.因为 a＝，c＝4，所以 b2＝c2－a2＝14，故点 E 的轨迹方程是－＝1(x≥).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练 1】P 为双曲线－＝1 的右支上一点，M，N 分别是圆(x＋5)2＋y2＝4 和(x－5)2＋y2＝1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选 D.题型二 双曲线几何性质的运用【例 2】双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q(2a,0)，若 C 上存在一点P，使PQAP ＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设 P(x，y)，则由PQAP ＝0，得 AP⊥PQ，则 P 在以 AQ 为直径的圆上，即 (x－)2＋y2＝()2，①又 P 在双曲线上，得－＝1，②由①②消去 y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去；当 x＝时，满足题意的点 P 存在，需 x＝＞a，化简得 a2＞2b2，即 3a2＞2c2，＜，所以离心率的取值范围是(1，).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C的左、右两支都相交的充要条件是( )A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率 k 只需满足－＜k＜，即 k2＜＝＝e2－1，故选 C.题型三 有关双曲线的综合问题【例 3】(2013 广东模拟)已知双曲线－y2＝1 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程；(2)若过点 H(0，h)(h＞1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 l1⊥l2，求 h 的1值.【解析】(1)由题意知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，则有直...
