2 双曲线典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例 1】已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，求动圆圆心E 的轨迹方程
【解析】设动圆 E 的半径为 r，则由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－，所以|AE|－|BE|＝2，又 A(－4,0)，B(4,0)，所以| AB|＝8,2＜|AB|
根据双曲线定义知，点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支
因为 a＝，c＝4，所以 b2＝c2－a2＝14，故点 E 的轨迹方程是－＝1(x≥)
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支
【变式训练 1】P 为双曲线－＝1 的右支上一点，M，N 分别是圆(x＋5)2＋y2＝4 和(x－5)2＋y2＝1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )A
9【解析】选 D
题型二 双曲线几何性质的运用【例 2】双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q(2a,0)，若 C 上存在一点P，使PQAP ＝0，求此双曲线离心率的取值范围
【解析】设 P(x，y)，则由PQAP ＝0，得 AP⊥PQ，则 P 在以 AQ 为直径的圆上，即 (x－)2＋y2＝()2，①又 P 在双曲线上，得－＝1，②由①②消去 y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去；当 x＝时，满足题意的点 P 存在，需 x＝＞a，化简得 a2＞2b2，即 3a2＞2c2，＜，所以离心率的取值范围是(1，)
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法
