平面向量应用举例学习过程知识点一：平面几何中的向量方法用向量方法解决几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素 之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。知识点二：向量在物理中的应用注意两方面：（1）体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量间的关系抽象成数学模型（2）如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象。学习结论（1）向量在解决某些几何问题时具有优越性。(2)明确用向量方法解决几何问题的“三步曲”。典型例题例 1. 如图，在直三棱柱111ABCA B C中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90° ，侧棱AA1=2，D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G．（Ⅰ）求 A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值（Ⅱ）求点 A1 到平面 AED 的距离．[思路分析] 本题中的三条棱1 ,,C C CA CB 两两垂直，故可以此建立空间直角坐标系．将线面所成角转化为线线所成角，从而运用向量的数量积可得所求；对于（Ⅱ）中的点面距离，首先应该考察过这点垂直于面的直线．在上述想法不可行的情况下再考虑体积法等其它方法．解析：（Ⅰ）点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G，所以，1A BG就是直线 A1B 与平面ABD 所成的角．因为1 ,,C C CA CB 两两垂直，所以，如图建立 空间直角坐标系 ， 若 设 CA=2a ， 则 有 ：2 ,0,0Aa，0,2 ,0Ba，1 2 ,0,2Aa，0,0,1D，, ,1E a a，221,,333aaG ．所以，．因为GEDB，所以，，所以，222033a ，所以，1a ．1所以 ，，又，所以，根据数量积的定义可知：．所以，A1B 与平面 ABD 所成的角的余弦值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，所以，，所以，1DEABDEBA且．所以，11DEA ABB 面．又 DEADE面，所以，11ADEA ABB面面．过点1A 作1A KAE于 K，则1A K 就是点 A1 到平面 AED 的距离．在等腰1EA A△中，1132BAEAEA，12AA ，所以，1AA 边上的高 h＝ 2312，所以，．所以，点 A1 到平面 AED 的距离为2 63．例 2.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南)102arccos(方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45...
