平面向量的概念及其线性运算(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()A.若a与b都是单位向量,则a=bB.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0,则|a|=|b|D.若a-b=0,则a与b是相反向量【解析】选C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同,所以A不正确;因为0的方向是任意的,当a=b=0时,B不正确;因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故C正确;因为a-b=0,所以a=b,a与b不是相反向量,故D不正确.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视了0方向的任意性.2.(2016·汉中模拟)已知点D是△ABC的边AB的中点,则向量等于()A.-+B.--C.-D.+【解析】选A.因为点D是AB的中点,所以=+=+=-+.【加固训练】如图,正六边形ABCDEF中,++=()A.0B.C.D.【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形,所以++=++=+=,故选D.3.(2016·长沙模拟)已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点,若=(1+λ)-λ,其中λ∈R,则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【解题提示】利用三角形法则,对向量等式=(1+λ)-λ进行转化,从而把已知向量等式化简,最后利用向量的共线定理,即可判断点P的位置.【解析】选C.因为=(1+λ)-λ,所以-=λ(-),所以=λ,所以B,D,P三点共线,因此点P一定在BD边所在的直线上.4.(2016·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【加固训练】1.已知下列结论①已知a是非零向量,λ∈R,则a与λ2a方向相同②已知a是非零向量,λ∈R,则|λa|=λ|a|③若λ∈R,则λa与a共线④若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.4【解析】选B.对于①,当λ=0时,λ2a是零向量,0的方向是任意的,所以①不正确;对于②,λ<0时,结论不成立,即②不正确;对于③,不论λ是否为零,或a是否为0,λa与a都共线,所以③正确;对于④,当a≠0,b=0时,结论不正确.2.(2016·淮南模拟)在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为()A.-2B.-C.2D.【解析】选A.如图.设=a,=b,则=ma+nb,=-=b-a,由向量与共线可知存在实数λ,使得=λ,即ma+nb=λb-λa,又a与b不共线,则所以=-2.【一题多解】本题还可采用如下解法:选A.如图,因为E是AD的中点,△EFA∽△BFC,所以==.所以==(-)=(-)=-.又因为=m+n,与不共线,所以m=,n=-,=-2.5.已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为()A.B.C.D.【解题提示】只要结合图形,明确DM与DC之比即可,故利用已知转化为与之间的关系.【解析】选C.如图,由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-),即2=3,故=,故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5,故S△ABM∶S△ABC=3∶5.【加固训练】设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.因为D为AB的中点,则=(+),又++2=0,所以=-,所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点,所以S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·郑州模拟)在▱ABCD中,=a,=b,3=,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)【解析】如图所示.=+=+=+(+)=+(+)=b-a-b=-a-b.答案:-a-b【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.(2)要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=.【解析】如图,因为在△ABC中,=c,=b,且点D满足=2,所以+=2(+),=+=b+c.答案:b+c7.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为.【解析】如图,由++=0,得=+,因为=λ,D是BC边的中点,所以+=2,=2,=-2,故λ=-2.答案:-28.在△ABC中,已知D是AB边上一点,=+λ,则实数λ=.【解题提示】结合图形根据向量加法的平行四边形法则作图利用相似三角形求解.【解析】如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,连接CD,则=+.因为=+λ,所以=,=λ.由△ADE∽△ABC,得==,所以==,故λ=.答案:【一题多解】...
