平面向量的基本定理及向量坐标运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014·北京高考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)【解析】选A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).2.在△ABC中,已知A(2,1),B(0,2),=(1,-2),则向量=()A.(0,0)B.(2,2)C.(-1,-1)D.(-3,-3)【解析】选C.因为A(2,1),B(0,2),所以=(-2,1).又因为=(1,-2),所以=+=(-2,1)+(1,-2)=(-1,-1).3.(2016·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的向量a=(1,3),b=(m,2m-3),若该平面不是所有向量都能写出xa+yb(x,y∈R)的形式,则m的值为()A.-B.C.3D.-3【解析】选D.由题意可知a与b共线,所以2m-3-3m=0,解得m=-3.【加固训练】设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),“则x=3”“是a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a∥b,得8-(x-1)(x+1)=0,即x2-9=0.解得x=±3.所以x=3时,a∥b,而a∥b时,x还可以等于-3.“故x=3”“是a∥b”的充分不必要条件.4.已知a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),则c可用a与b表示为()A.a+bB.2a+3bC.3a-2bD.2a-3b【解题提示】用验证法.根据坐标运算逐一验证即可.【解析】选C.因为a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),所以a+b=(0,3)≠c,2a+3b=2(1,1)+3(-1,2)=(-1,8)≠c,3a-2b=3(1,1)-2(-1,2)=(5,-1)=c,2a-3b=2(1,1)-3(-1,2)=(5,-4)≠c.故选C.【一题多解】解答本题还可采用如下解法.选C.设c=xa+yb,因为a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),所以解得x=3,y=-2,所以c=3a-2b.5.已知a=(-5,12),则与a方向相同的单位向量的坐标为()A.(-1,0)B.(0,1)C.D.【解题提示】利用单位向量的定义及同向的意义求解.【解析】选D.设e=λa(λ>0),则|e|=|λa|=|λ|=13|λ|=1,即|λ|=,λ=,所以e=(-5,12)=.6.(2016·芜湖模拟)在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,S为△ABC的面积,若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,则∠C=()A.B.C.D.【解题提示】根据向量平行的坐标公式,建立条件关系,利用余弦定理和三角形的面积公式即可得到结论.【解析】选A.因为向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,所以a2+b2-c2-4S=0,即4S=a2+b2-c2,则4×absinC=a2+b2-c2,即sinC==cosC,则tanC=1,解得∠C=.7.(2016·西安模拟)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是()A.B.C.D.【解题指示】结合图形利用共线向量定理把x转化成参数(已知范围)的函数.【解析】选D.如图.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是.【一题多解】本题还可采用如下解法:选D.特殊情况法:当点O在C处时,=,又=x+(1-x),所以x=0;当点O在D处时,==+=+=+(-)=-+,又=x+(1-x),所以x=-.结合选项易知选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.设O是坐标原点,已知=(k,12),=(10,k),=(4,5),若A,B,C三点共线,则实数k的值为.【解析】由题意得=-=(k-4,7),=-=(6,k-5),所以(k-4)(k-5)=6×7,k-4=7或k-4=-6,即k=11或k=-2.答案:11或-29.(2016·开封模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且满足=+,则=.【解题提示】利用已知条件转化为向量,的关系,确定点C位置后可解.【解析】由已知得,3=2+,即-=2(-),即=2.如图所示:故C为BA的靠A点的三等分点,因而=.答案:【一题多解】本题还可采用如下解法:=+=++=+=,所以=.答案:10.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,1),(2,1),则其第四个顶点的坐标为.【解题提示】根据顶点的顺序分类讨论.【解析】设A(1,0),B(0,1),C(2,1),第四个顶点D(x,y),由题意,该平行四边形四个顶点的顺序不确定,讨论如下:①若平行四边形为ABCD,则=.因为=(-1,1),=(2-x,1-y),所以解得即D(3,0);②若平行四边形为ABDC,则=.因为=(-1,1),=(x-2,y-1),所以解得即D(1,2);③若平行四边形为ACBD,则=.因为=(1,1),=(-x,1-y),所以解得即D(-1,0).答案:(3,0)或(1,2)或(-1,0)(20分钟40分)1.(5分)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,若e1+e2=xa+yb,则x+2y=()A.B.-C.1D.0【解析】选D.因为e1+e2=xa+yb.a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2)=(x-y)e1+(2x+y)e2.由平面向量基本定理,得所以故x+2y=+2×=0.2.(5分)已知A(7,1)、B(1,4),直...
