第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式≤1.基本不等式成立的条件:a >0 , b >0 .2.等号成立的条件:当且仅当 a = b 时取等号.二、几个重要的不等式a2+b2≥2 ab (a,b∈R);+≥2(a,b 同号).ab≤2(a,b∈R);2≤(a,b∈R).三、算术平均数与几何平均数设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、利用基本不等式求最值问题已知 x>0,y>0,则:(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x = y 时,x+y 有最小值是 2.(简记:积定和最小)(2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x = y 时,xy 有最大值是.(简记:和定积最大)[小题能否全取]1.(教材习题改编)函数 y=x+(x>0)的值域为( )A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)解析:选 C x>0,∴y=x+≥2,当且仅当 x=1 时取等号.2.已知 m>0,n>0,且 mn=81,则 m+n 的最小值为( )A.18 B.36C.81 D.243解析:选 A m>0,n>0,∴m+n≥2=18.当且仅当 m=n=9 时,等号成立.3.(教材习题改编)已知 01,则 x+的最小值为________.解析:x+=x-1++1≥4+1=5.当且仅当 x-1=,即 x=3 时等号成立.答案:55.已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,则 z=+的最小值为________.解析:由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10.则+≥2 =2,故 min=2,当且仅当 2y=5x 时取等号.又 xy=10,即 x=2,y=5 时等号成立.答案:21.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.2.对于公式 a+b≥2,ab≤2,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系.3.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab逆用就是 ab≤;≥(a,b>0)逆用就是 ab≤2(a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.利用基本不等式求最值典题导入[例 1] (1)已知 x<0,则 f(x)=2++x 的最大值为________.(2)(2012·浙...